An welcher Stelle (Entfernung von A) muss die Abzweigung erfolgen, damit die Kosten minimal werden?

Question

Aufgabe:

Ein Haus liegt 100 m entfernt von einer geradlinigen Straße, die von einem Fernheizwerk
A wegführt. Das Haus soll an das städtische Fernheizsystem angeschlossen werden. Der
Laufmeter Verlegung kostet längs der Straße 100 e, im Gelände hingegen 140 e. An welcher Stelle (Entfernung von A) muss die Abzweigung erfolgen, damit die Kosten minimal
werden?

Comments

Da fehlt noch eine wesentliche Angabe, dein Aufgabentext ist unvollständig.

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Da die Entfernung vom Heizwerk bis zum Haus entlang der Straße unbekannt ist, weil entweder der Aufgabenautor sie nicht genannt hat oder die Fragestellerin vergessen hat sie abzuschreiben, setze ich in der Skizze dafür die Unbekannte d (für "Distanz") ein. Die Fernwärmeleitung ist blau eingezeichnet.

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Da die Entfernung vom Heizwerk bis zum Haus entlang der Straße unbekannt ist, weil entweder der Aufgabenautor sie nicht genannt hat oder der Fragesteller vergessen hat sie abzuschreiben, setze ich in der Skizze dafür die Unbekannte d ein. Die Fernwärmeleitung ist blau eingezeichnet.

Eine löbliche Initiative, Allerdings ist nicht einmal sicher, ob -wie von dir angenommen- das Heizkraftwerk direkt an der Straße steht.

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Na ja, es ist die Rede von "einer geradlinigen Straße, die von einem Fernheizwerk A wegführt".

Answer 1

Kosten (x) = 100 x + 140 \( \sqrt{100^2 + (d-x)^2} \)

\( \frac{\partial}{\partial x}\left(100 x+140 \sqrt{100^{2}+(d-x)^{2}}\right)=100-\Large\frac{140(d-x)}{\sqrt{(d-x)^{2}+10000}}\normalsize = 0\)

⇒   \(x = d - \Large \frac{125 \sqrt{6}}{3} \)

Comments

Anstatt die Kosten zu minimieren, kann man auch das Kostenersparnis maximieren. Es gibt Leute, die sagen dem "das duale Problem". Dazu wird nur das rechtwinklige Dreieck rechts in der Skizze benötigt. Das Ersparnis ist gleich die Kosten der vermiedenen Strecke (Katheten) minus die Kosten der gebauten Strecke (Hypotenuse).

Ersparnis (a) = 100a + 140*100 - 140\( \sqrt{100^2 + a^2} \)

\( \frac{\partial}{\partial a}\left(100a+140\cdot100-140\sqrt{100^{2}+a^{2}}\right)=100-\Large\frac{140a}{\sqrt{a^{2}+10000}}\normalsize = 0 \)

⇒   \(a = \Large \frac{125 \sqrt{6}}{3} \)