Aufgabe:
Gegeben ist eine Kurve \(\gamma[t_P,t_Q]\) mit den Endpunkten \(P=\gamma(t_P)\) und \(Q=\gamma(t_Q)\). Die Kurve kann auch als \(r=r(\phi), \phi_P\leq\phi\leq\phi_Q\) geschrieben werden.
Nun soll die Gleichheit der Integrale für den Flächeninhalt zwischen P und Q gezeigt werden: $$A=1/2\int_{P}^{Q} xdy -ydx=1/2\int_{t_P}^{t_Q} x\dot y -y\dot x\ dt=1/2\int_{phi_P}^{\phi_Q} r(\phi)^2d\phi$$
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz wäre mir dem rechten Integral zu starten:
$$\int_{\phi_P}^{\phi_Q}\int_{0}^{r(\phi)} dA=\int_{\phi_P}^{\phi_Q}\int_{0}^{r(\phi)}r\ dr d\phi=1/2\int_{\phi_P}^{\phi_Q}r(\phi)^2 d\phi$$
Brauche ich jetzt eine bestimmte Parametrisierung für r um die das Integral umformen zu können? Normalerweise nutzt man ja \(r(\phi)=(r\cos(\phi),r\sin(\phi))\) und \(r=x^2+y^2\) aber ich weiß nicht wie ich das in diese Form bringen kann \( x\dot y -y\dot x\ \).
