Zeigen Sie, dass die Matrix A + x* yT ∈ Mn×n(K) invertierbar ist

Question

Aufgabe:

Seien A ∈ GL_n(K) und x, y ∈ Kⁿ, so dass 1 + y^T * A⁻¹* x ≠ 0 in K ist. Zeigen Sie, dass die
Matrix A + x* y^T ∈ M_n×n(K) invertierbar ist und
(A + xy^T )⁻¹ = A⁻¹ − ((A⁻¹*x)(y^T * A⁻¹))/(1 + y^T*A⁻¹*x) 
gilt.

Problem/Ansatz:

Meine Idee war es A + x* y^T * (A + x* y^T)^-1 = E_n zu zeigen.
Nach bisschen Umformen bekomme ich:
A*A^-1 - A * A^-1 * y^T * A^-1 * x /(y^T * A^-1 * x) + y^T * A^-1 - y^T * A^-1 * x /(y^T * A^-1 * x) * x* y^T * A^-1

Nun komme ich aber nicht weiter. Ich habe schon A*A^-1 = E_n ausprobiert aber ich sehe auch nicht wie man weiter umformen kann. Wäre für Hilfe dankbar.

Answer 1

Hallo,

ich kann Deiner Rechnung nicht folgen. Vielleicht brauch man das nur ein wenig organisieren. Ich kürze mal ab\(q:=y^TA^{-1}x\). Dann ist also zu überprüfen:

$$(A+xy^T)(A^{-1}-\frac{1}{1+q}A^{-1}xy^TA^{-1})$$

Das gibt die folgenden 4 Terme:

$$AA^{-1}=E_n$$

$$-\frac{1}{1+q}xy^TA^{-1}$$

$$xy^TA^{-1}$$

$$-\frac{1}{1+q}xy^TA^{-1}xy^TA^{-1} = -\frac{q}{1+q}xy^TA^{-1}$$

In der Tat addieren sich die 3 letzten Terme zu 0.

Gruß Mathhilf