A invertierbar in (Mn(R), ·, In) ⇐⇒ fA invertierbar in (EndR(Rn), ◦, idRn ) gilt.

Question

Aufgabe:

Seien R ein kommutativer Ring mit Eins, n ∈ ℕ_≥1 und

 End_R(Rⁿ) := { f : Rⁿ → Rⁿ| f ist R-linear }.

Zeigen Sie für A ∈ Mn(R), dass 
A invertierbar in (M_n(R), ·, I_n) ⇐⇒ f_A invertierbar in (End_R(Rⁿ), ◦, id_Rⁿ ) gilt.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweis Behauptung Invertierbarkeit kommutativer Ring

Stichworte: ring,kommutativ,beweise,invertierbar,matrix

Aufgabe:

Seien R ein kommutativer Ring mit Eins und n ∈ N_≥1. Zeigen Sie für A ∈ M_n(R):
A invertierbar in (Mn(R), ·, In) ⇐⇒ fA invertierbar in (End_R(Rⁿ), ◦, id_Rⁿ ).

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Jemand eventuell eine Idee ?

Answer 1

f_A ist ja vermutlich so definiert, dass für alle x ∈ R^n gilt  f_A(x)= A*x.

Dann gilt:

1. Sei A invertierbar, dann gibt es A^(-1) ∈ M_n(R) mit A^(-1)*A = I_n

und   A*A^(-1) = I_n   .

Dann definiere g_A(x) = A^(-1)*x für alle x ∈ R^n und zeige

f_A o g_A = id_R^n = g_A o f_A .  Also ist g_A die Inverse zu f_A in End_R(R^n).

Umgekehrt gehört zu jedem Endomorphismus aus EndR(R^n) eine

Matrix aus  M_n(R) . Ist also f_A invertierbar, dann ist die Matrix der

inversen Abbildung auch die Inverse von A.

Comments

reicht die Begründung aus , die du verwendet hast oder kann ich das eventuell noch präziser und ausführlicher  "beweisen"?

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wie ich geschrieben hatte:

 zeige: 

fA o gA = idRn = gA o fA . 

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Wie mache ich das am besten ? Hättest du vielleicht den Ansatz ?

Mit freundlichen Grüßen

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Gleichheit von Abbildungen zeigt man ja so:

1. gleicher Def. und Zielbereich. Ist erfüllt,

alles R^n.

2. Für alle x ∈ Def.Bereich stimmen die Werte der

beiden Abbildungen überein.

Also etwa für f_A o g_A = id_R^n ist zu zeigen:

( f_A o g_A )(x)= id_R^n (x). Also los:

( f_A o g_A )(x)   [Def. von o ]

= f_A(g_A(x))    [Def. von g_A]

=f_A(  A^(-1)*x   )   [Def. von f_A]

= A*(  A^(-1)*x   )   Rechengesetze

= (A*A^(-1)) * x    Def. von A^(-1)

=    I_n * x

=  id_R^n (x)            q.e.d.