Ich schreib mal α(z) statt z^α.
Da du ja verwenden darfst, dass beides Ringe sind, musst du nur noch zeigen
Homomorphismus und bijektiv.
zu Homomorphismus : Da musst du zeigen α(x+y) = α(x) ⊕ α(y)
und α(x·y) = α(x) * α(y)
also so: Seien x,y ∈ℤ
==> α(x+y) (nach def von α )
= \( \begin{pmatrix} x+y & 0 \\ 0 & x+y \end{pmatrix} \)
Nach Def. von ⊕ ist das
= \( \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} \) ⊕ \( \begin{pmatrix} y & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix} \)
= α(x) ⊕ α(y)
entsprechend für α(x·y) = α(x) * α(y) .
α ist Injektiv; Seien x,y ∈ℤ mit α(x) * α(y)
==> \( \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} y & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix} \)
Nach der Def. der Gleichheit für Matrizen also x=y .
surjektiv: Sei X∈T. Dann gibt es nach Def. von T ein a ∈ℤ mit
X= \( \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \) ,
also X = α(a) .
