Summe zwei Ideal ist gleich 1?

Question

Aufgabe:H ist ein kommutativer Ring mit 1. Sei I_j⊆H, j=1,.....,n Ideale von H mit I_i +I_j =H für i≠j.

ich muss zeigen, für p,q∈ℕ und i≠j:I_j^p +I_i^q =H.

Problem/Ansatz:

ich habe schon gezeigt, dass für geeignet a und b aus zwei verschiedene Ideale gilt: a+b=1. Dann hat man nämlich Einsideal drin.

Aber wie zeigt man das, wenn p,q≥2, (1)Einsideal ist drin?

Answer 1

Seien \(I\) und \(J\) Ideale mit \(I+J=H\).

Wir wollen zeigen, dass dann auch \(I^p+J^q=H\) ist.

Jedes Ideal \(\neq H\)  ist in einem maximalen Ideal \(M\) enthalten und

maximale Ideale sind prim, d.h. für sie gilt:

\(xy\in M\Rightarrow x\in M\vee y\in M\).

Sei nun \(a\in I,b\in J\) mit \(a+b=1\).

Angenommen, es wäre \(I^p+J^q\neq H\). Dann gäbe es ein

maximales, also primes Ideal \(M\neq H\) mit \(I^p+J^q\subset M\).

Klar haben wir \(a^p\in I^p+J^q\subset M\).

Da \(M\) prim ist, folgt \(a\in M\). Genauso findet man \(b\in M\),

also (da \(M\) ein Ideal ist): \(1=a+b\in M\),

und damit wäre \(M\) kein maximales Ideal: Widerspruch.

Comments

viele Danke für die vollständige Erklärung!