Ableitung einer Kreisgleichung

Question

Wir betrachten die Funktion

f(x, y) = 4(x² + y²) + x³y³/2 + x − y + 1.

und suchen zunächst das Minimum von f auf dem Bereich

X = {(x, y) ∈ ℝ², x² + y² < 1}.

Wir bestimmen in einem ersten Schritt stationäre Punkte, also Nullstellen von

∇f(x) =( 8x + 3/2 x²y³ + 1

          8y + 3/2 x³y² − 1)         != 0

Mit 3/2 x²y² = (1 − 8y)/x ,folgt

8x + (1 − 8y)/x y + 1 = 0,

mit den beiden Lösungen

x₁(y) = −y,     x₂(y) = y − 1/8

Könnte mir jemand erklären wie man darauf kommt?

∇ zu diesem Zeichen weiß ich schon das es die Ableitung darstellen soll.

LG Blackwolf

Answer 1

Wo ist genau das Problem?

8·y + 3/2·x^3·y^2 - 1 = 0

3/2·x^3·y^2 = 1 - 8·y

3/2·x^2·x·y^2 = 1 - 8·y

3/2·x^2·y^2 = (1 - 8·y)/x

Soweit noch klar. Also dann in die andere Gleichung einsetzen.

8·x + 3/2·x^2·y^3 + 1 = 0

8·x + (3/2·x^2·y^2)·y + 1 = 0

8·x + ((1 - 8·y)/x)·y + 1 = 0

8·x + (y - 8·y^2)/x + 1 = 0

8·x^2 + (y - 8·y^2) + x = 0

8·x^2 + x + (y - 8·y^2) = 0

Soweit noch klar? Jetzt die abc-Formel nutzen.

x = (- 1 ± √(1^2 - 4·8·(y - 8·y^2))) / (2·8)

x = (- 1 ± √(256·y^2 - 32·y + 1)) / 16

x = (- 1 ± √((16·y - 1)^2)) / 16

x = (- 1 ± (16·y - 1)) / 16

x = (- 1 - (16·y - 1)) / 16 = - y

x = (- 1 + (16·y - 1)) / 16 = y - 1/8

Comments

Danke erstmal für die Antwort.

Ich verstehe nicht ganz wie ich von der Funktion auf die Ableitung komme, da es einerseits x und y gibt und es zwei  Gleichungen untereinander sind.

Ich habe die Vermutung, dass die obere Gleichung nach x abgeleitet wurde und die untere nach y, wenn ich das jedoch selbst nachrechnen komme ich auf ein anderes Ergebnis.

Hauptsächlich wäre auch der Ableitungsteil wichtig da ich das gegebene Beispiel auf die Funktion f(x, y) = |2y-x^2|x+y anwenden soll und diese dann auch ableiten muss.

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Ja das sind die partiellen Ableitungen nach x und y.

Benutze, wenn du Probleme mit Ableitungen https://www.ableitungsrechner.net zur Hilfe und Selbstkontrolle

Frage dann gezielter nach, was du nicht verstehst.