Zeigen Sie, dass Ux∈K Kε(x) kompakt ist.

Question

Aufgabe:

Es sei K ⊂ ℝ^d, d ∈ ℕ kompakt und ε > 0. Zeigen Sie, dass U_x∈K K_ε(x) kompakt ist.

Answer 1

Ich führe als Alternative zu Dojima den Abgeschlossenheitsbeweis für \(A\) so:

Die Abbildung \(x\mapsto d(y,x)\) ist für \(y\notin A\) stetig, nimmt also

wegen der Kompaktheit ihr Minimum \(m\) auf \(K\) an. Wegen

\(d(y,x)\gt \epsilon \; \forall x\in K\) ist dann \(m\gt \epsilon\).

Setzt man nun \(\delta=(m-\epsilon)/2\), dann gilt \(B_{\delta}(y)\subseteq \mathbb{R}^d\backslash A\),

d.h. das Komplement von \(A\) ist offen.

Answer 2

Hallo,

ich denke mal \(K_\varepsilon(x)\) sollen die abgeschlossenen Kugeln vom Radius \(\varepsilon\) um \(x\) sein? (es ist aber ganz gut das bei solchen Fragen mit anzugeben).

Sei \(A:=\bigcup_{x\in K}K_\varepsilon(x)\). Wir wollen nun den Satz von Heine.Borel nutzen. Es ist also z.z., dass \(A\) abgeschlossen und beschränkt ist.
Da \(K\) beschränkt ist sieht man relativ leicht, dass auch \(A\) beschränkt sein muss.

Zur Abgeschlossenheit: Sei \((x_n)_n\) eine Folge in \(A\), die gegen ein \(x\in\mathbb R^n\) konvergiert. Dann existiert eine Folge \((k_n)_n\) in \(K\) sodass \(x_n\in K_\varepsilon(k_n)\). Da \(K\) kompakt ist, gibt es eine Teilfolge \((k_{n_l})_l\) und ein \(k\in K\) mit \(x_{n_l}\to k\). Dann gilt für alle \(l\in\mathbb N\): $$|x-k|\leq|x-x_{n_l}|+|x_{n_l}-k_{n_l}|+|k_{n_l}-k|\leq|x-k|\leq|x-x_{n_l}|+\varepsilon+|k_{n_l}-k|$$
Und damit \(|x-k|\leq\varepsilon\) (für \(l\to\infty\)), also \(x\in A\).

LG Dojima