Aufgabe:
Seien \( R, S \) Ringe.
(a) Erläutern Sie, warum \( R \times S \) mit den koordinatenweise definierten Verknüpfungen
\( \begin{array}{c} +:(R \times S) \times(R \times S) \rightarrow R \times S, \quad\left(r_{1}, s_{1}\right)+\left(r_{2}, s_{2}\right)=\left(r_{1}+r_{2}, s_{1}+s_{2}\right) \\ \cdot:(R \times S) \times(R \times S) \rightarrow R \times S, \quad\left(r_{1}, s_{1}\right)\left(r_{2}, s_{2}\right)=\left(r_{1} r_{2}, s_{1} s_{2}\right) \end{array} \)
einen Ring bildet.
(b) Zeigen Sie: \( R \times S \) ist kommutativ genau dann, wenn \( R \) und \( S \) beide kommutativ sind.
(c) Zeigen Sie: \( R \times S \) besitzt ein Einselement genau dann, wenn \( R \) und \( S \) beide ein Einselement haben.
(d) Klären Sie: Wann besitzt \( R \times S \) ein von Null verschiedenes Einselement?
(e) Klären Sie: Unter welchen Umständen ist \( R \times S \) ein Körper?
Moin, hat jemand einen Tipp / Ansatz für die (d)?
