Berechnen eines Rotationskörpers (Integral)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Schaubildes der Funktion \( f \) um die \( x- \) Achse zwischen \( x=0 \) und \( x=\ln (2) \) entsteht, mit
\( f(x)=\mathrm{e}^{-2 x} \)

Problem/Ansatz:

Hallöle,

Kann mir wer hierzu auch bitte ein Lösung aber mit Erklärung mitgeben, da ich meine Lösungsheft nicht bei mir habe.

Comments

da ich meine Lösungsheft nicht bei mir habe.

Das war vor 10 Tagen schon ein Problem und scheint chronisch zu sein. Es gibt so todschicke Daypack-Rucksäcke...

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Es tut mir sehr leid ich habe es wirklich nicht gesehen! Ich achte in zukunft besser drauf!

Answer 1

Aloha :)

$$V=\pi\int\limits_{0}^{\ln(2)}\left[e^{-2x}\right]^2\,dx=\pi\int\limits_{0}^{\ln(2)}e^{-4x}dx=\pi\left[\frac{e^{-4x}}{-4}\right]_0^{\ln(2)}=-\frac{\pi}{4}\left(e^{-4\ln(2)}-e^0\right)$$$$\phantom V=-\frac{\pi}{4}\left(\left(e^{\ln(2)}\right)^{-4}-1\right)=-\frac{\pi}{4}\left(2^{-4}-1\right)=\frac{\pi}{4}\left(1-\frac{1}{16}\right)=\frac{15}{64}\,\pi$$