Untergruppen von (Z/15Z)* bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei \( G=(G, \cdot) \) eine Gruppe, d. h., \( G \) eine Trägermenge, ausgestattet mit einer multiplikativen Verknüpfung \( :: G \times G \rightarrow G,(x, y) \mapsto x \cdot y=x y \) dergestalt, dass gelten:
(i) die Multiplikation ist assoziativ, also \( \forall x, y, z \in G:(x y) z=x(y z) \);
(ii) es existiert genau ein Element in \( G \), ein Einselement, welches mit \( 1_{G}=1 \) bezeichnet wird, für das gilt \( \forall x \in G: 1 \cdot x=x \cdot 1=x \);
(iii) Zu jedem \( x \in G \) existiert genau ein Element in \( G \), das Inverse \( z u x \), welches mit \( x^{-1} \) bezeichnet wird, für das gilt: \( x^{-1} x=x x^{-1}=1 \).

Eine Untergruppe \( H=(H, \cdot) \) von \( G \) besteht aus einer Teilmenge \( H \subseteq G \), die bezüglich der eingeschränkten Multiplikation selbst eine Gruppe bildet.

(b) Fertigen Sie explizit eine Multiplikationstafel für die Einheitengruppe \( (\mathbb{Z} / 15 \mathbb{Z})^{*} \) des Restklassenringes \( \mathbb{Z} / 15 \mathbb{Z} \) an und bestimmen Sie alle Untergruppen von \( (\mathbb{Z} / 15 \mathbb{Z})^{*} \).

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich die Untergruppen bestimme?

Comments

Welche Elemente liegen denn in der Einheitengruppe? PS: Alle die ggt =1 mit 15 haben

---

Wäre {0,3,6,9,12} eine Untergruppe?

---

Also der ggt von 3 und 15 ist 3.. Genauso wie bei 6,9,12. Ggt von 2 und 15 ist zum Beispiel 1.

Damit ist offenbar 3 kein Element der Gruppe und damit auch keiner Untergruppe

---

Hmm irgendwie verstehe ich es noch nicht so ganz

---

In dem Ring Z/15Z sind  die Elemente 1,..,15 enthalten. In der Einheitengruppe sind alle alle Elemente ggt(a,15)=1 enthalten, wobei a aus Z/15Z ist. Das wäre zum Beispiel die 14 oder auch die 2. Schreibe dir alle Elemente auf und Überlege dann welche Untergruppe es geben kann.

---

Ok ich Versuchs mal, danke. Aber das sind nicht die gleichen Zahlen, die ich für die multiplikationstafel brauchte oder? Ich hab die halt von {0, … , 14} deshalb

---

Hallo

die 0 gehört nicht zu G denn 0 hat ja kein Inverses,

lul

---

Ahh sorry nicht 15, 14 wie du richtig gesagt hast.

Der Rest. Den ich erklärt habe stimmt aber

---

Muss man bei der Multiplikationstafel nicht die Werte {0, … , 14} multiplizieren in Bezug auf (Z/15Z)? So habe ich es zumindest verstanden. Bei 0 würde ja sowieso 0 rauskommen

---

Du selbst schriebst "Zu jedem \( x \in G \) existiert genau ein Element in \( G \), das Inverse \( z u x \),

was ist das Inverse zu 0?

lul

---

Habe es analog zu einem YouTube Video gemacht. Wenn du auf YouTube „Restklassenringe“ eingibst, sollte da ein Video von Weitz / HAW Hamburg kommen (13:31 min). Könntest du es dir kurz anschauen und sagen, ob es richtig ist?

Answer 1

In dem Video wird ja das Aufstellen einer Multiplikationstafel

ganz gut erklärt.

Allerdings soll es bei dir ja um die Einheitengruppe \( (\mathbb{Z} / 15 \mathbb{Z})^{*} \) gehen.

Dann hast du nur die Elemente mit ggT(x;15)=1 , also sieht das so aus

        1      2      4      7     8      11      13       14
1            1      2      4      7    8      11       13       14
2            2      4      8     14    1      7        11       13
4
7
8
11                                       etc.
13
14

Und Untergruppen findest du, wenn du eine Menge von

Elementen heraussuchst, die bzgl. Multiplikation abgeschlossen ist.

Solche Mengen haben immer eine Elementezahl, die ein

Teiler der Gruppenordnung ist. Und das neutrale El.

muss natürlich immer drin sein.

Also z.B einelementig, wenn du

die Menge mit dem einzigen Element 1 nimmst.

zweielementig  1 und ein zu sich selbst inverses

wie etwa bei der Menge{1;4}.

4-elementig  wie z.B.  {1;2;4;8}

aber {1;2;7;14} geht z.B. nicht, weil 7*7=4 ist, und 4 ist nicht in der Menge.

Comments

Ah ok danke, glaube jetzt habe ich es verstanden. Könntest du mir vielleicht, zur Überprüfung sagen, wie viele Untergruppen es hier gibt?

---

Wenn ich mich nicht verguckt habe, sind es 6 Untergruppen.

---

{1} und G vergessen ?

---

{1} und G vergessen ?

Ich glaube nicht; denn

\((Z/15Z)^*\cong (Z/3Z)^*\times (Z/5Z)^*\) und die beiden

direkten Faktoren haben 2 bzw. 3 Untergruppen, daher

hat G \(2\cdot 3=6\) Untergruppen, oder ?

---

Ich komme bislang auf acht Untergruppen.

---

| { {1} , {1 , 4} , {1 , 11} , {1 , 14} , {1 , 2 , 4 , 8} , {1 , 4 , 7 , 13} , {1 , 4 , 11 , 14} , G } | =  8

---

Vielen Dank. Gebe mich geschlagen ;-)
Muss mir noch überlegen, warum mein angebliches
Argument scheitert.