Steckbriefaufgabe: Polynom dritten Grades mit horizontaler Tangente im Ursprung.

Question

Ich habe eine Frage in der Aufgabe heißt es das eine ganzrationale Funktion f dritten grades deren Graph den Ursprung und den Punkt Q(3, 27/4) enthält gesucht ist. Außerdem hat f um Ursprung eine waagrechte Tangente und für x=3 und x=5 die gleiche Steigung hat. was muss ich machen?

Comments

Eine Skizze hilft fast immer. Zeichne in einem Koordinatensystem alles ein, was du weisst.
Dann musst du dir überlegen, wie die Funktionsgleichung aussehen könnte.
Als Nächstes stellst du aus den restlichen Angaben Gleichungen auf.

Answer 1

Eine Skizze hilft fast immer. Zeichne in einem Koordinatensystem alles ein, was du weisst.

Hast du hoffentlich inzwischen gemacht.
Dann musst du dir überlegen, wie die Funktionsgleichung aussehen könnte.

'Horizontale Tangente im Ursprung' heisst, dass man (x-0)^2 aus der Funktionsgleichung ausklammern kann.
Ansatz f(x) = x^2 (ax + b) 

 f(x) = x^2 (ax + b)  |ausmultlpliizieren

f(x) = ax^3 + bx^2 

f ' (x) = 3ax^2 + 2bx

Als Nächstes stellst du aus den restlichen Angaben Gleichungen auf.

Punkt Q(3, 27/4) enthält 

f(3) = 27/4 = a*27 + b*9         |:9

3/4 = 3a + b          Gleichung (I)

Außerdem für x=3 und x=5 die gleiche Steigung hat

f ' (3) = f '(5)

3a*9 + 2b*3 = 3a*25 + 2b*5

27a + 6b = 75a + 10b

0= 48a + 4b       |:4

0= 12 a + b

-12a = b          Gleichung (II)

b in (I) einsetzen

3/4 = 3a - 12a = -9a      |: (-9)

-1/12 = a

b= -12a = 1

Mein Resultat (ohne Gewähr):

f(x) = -1/12 x^3 + x^2

Skizze erstellt mit https://www.matheretter.de/tools/funktionsplotter/

Du kannst selbst dort noch zoomen.

Die Wendestelle ist bei x=4. Aus Symmetriegründen ist die Steigung bei 3 und 5 gleich.