Flächeninhalt von Grund- und Deckflächen eines Pyramidenstumpfs

Question

Ein Pyramidenstumpf hat als Grund- und Deckflächen ein regelmäßiges Fünfeck, die Fünfecke sind ähnlich. Die Kantenlängen der Fünfecke betragen a₁ =15 cm und a₂=10cm, die Höhe des Köpers ist h=8cm.

a) Berechne den Flächeninhalt von Grund- und Deckflächen!

b) Berechne das Volume des Körpers!

c)Berechne die Oberfläche des Körpers.

Answer 1

a)Ein Fünfeck esteh aus  5 gleichschenkligen Dreiecken, und für ein dreieck gilt

A= 1/2 a *h                

A Fünfeck = 5*(1/2 a*h)

a₂= 10 cm

h=tan 54° *5

 h  =6,88cm

A₂= 172 cm²             Deckfläche

a₁= 15                       h= tan 54° *7,5 =10,32cm

A₁=387,1cm²            Grundfläche

Answer 2

a)

Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfecks errechnet sich nach:

A = a²/4 * √(25+10√5)

Somit ergibt sich für die beiden Fünfecke:

A₁ = (15cm)²/4 * √(25+10√5) = 387,1 cm²

A₂ = (10cm)²/4 * √(25+10√5) = 172,0 cm²

 

b)

Das Volumen eines Pyramidenstumpfes errechnet sich nach:

V = h/3 * (A₁ + √(A₁*A₂) + A₂)

V = 8cm/3 * (387,1 cm² + √(387,1 cm²*172,0 cm²) +172,0 cm²)

V = 2179,0 cm³

 

c)

Die Oberfläche besteht aus 5 Trapezen (A_T) und den beiden Flächen A₁ und A₂.

Zur Berechnung der Fläche der Trapeze benötigt man deren Höhe s.

Nach Satz des Pythagoras und mit Radius r_i des Inkreis eines Fünfeckes gilt:

s = √(h² + (r_i1-r_i2)²)

Für den Inkreisradius eines Fünfeckes gilt:

r_i = a/10 * √(25+10√5)

Somit ergibt sich:

r_i1 = 15cm/10 * √(25+10√5) = 10,3 cm

r_i2 = 10cm/10 * √(25+10√5) = 6,9 cm

Daraus folgt für s:

s = √((8cm)² + (3,4cm)²) = 8,7 cm

Jetzt kann die Trapezfläche bestimmt werden:

A_T = 5 * (a₁ + a₂)/2 * s

A_T = 5 *(25 cm)/2 * 8,7 cm = 543,3 cm²

Und damit ergibt sich für die gesamte Oberfläche des Pyramidenstumpfes:

A_O = A_T + A₁ + A₂

A_O = 543,3 cm² + 387,1 cm² + 172,0 cm² = 1102,4 cm²