Charakteristische Polynom und Eigenwerte bestimmen!

Question

Aufgabe 4)

a)

i. Seien \( e_{0}, e_{1}, e_{2}, e_{3} \in \mathbb{C} \).

Bestimmen Sie das charakteristische Polynom \( \chi_{E}(\lambda) \) der Matrix

\( E:=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -e_{0} \\ 1 & 0 & 0 & -e_{1} \\ 0 & 1 & 0 & -e_{2} \\ 0 & 0 & 1 & -e_{3} \end{array}\right) \in \mathbb{C}^{4,4} \)

Wichtig! : Die Eigenwerte müssen Sie nicht bestimmen.

ii. Seien nun \( e_{1}=e_{2}=e_{3}=1 \) und \( e_{0}=0 \).

Berechnen Sie die zugehörigen Eigenwerte der Matrix \( E \).

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Begleitmatrix

Answer 1

\( \chi_{E}(\lambda) = det(E-E_4*\lambda ) \)    mit Einheitsmatrix E₄ .

Gibt \( \chi_{E}(\lambda) = \lambda^4+e_3 \lambda^3+e_2 \lambda^2+e_1 \lambda+e_0 \)

ii) Dann ist es ja \( \chi_{E}(\lambda) = \lambda^4+ \lambda^3+ \lambda^2+\lambda\)

\(   = \lambda \cdot(\lambda+1)    \cdot(\lambda^2+1) \)

Eigenwerte also 0 , -1 , i und -i .

Comments

Dankeschön ich habe es verstanden. Ich bekomme jedoch bei der Rechnung ein extra λ zu viel. Ich weiß nicht wo mein Fehler ist. Könnten Sie, wenn Sie so nett wären, mir Ihren Rechenweg einmal zeigen. Danke im voraus.

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Determinante von

\(\left(\begin{array}{cccc} -\lambda & 0 & 0 & -e_{0} \\ 1 & -\lambda & 0 & -e_{1} \\ 0 & 1 & -\lambda & -e_{2} \\ 0 & 0 & 1 & -e_{3}-\lambda \end{array}\right)  \)

nach der 1. Spalte entwickeln:

\( -\lambda \left(\begin{array}{cccc}  -\lambda & 0 & -e_{1} \\  1 & -\lambda & -e_{2} \\  0 & 1 & -e_{3} -\lambda \end{array}\right) \)\(-1 \left(\begin{array}{cccc}  0 & 0 & -e_{0} \\  1 & -\lambda & -e_{2} \\  0 & 1 & -e_{3}-\lambda \end{array}\right) \)

Dann die 3er mit der Regel von Sarrus.

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Ich danke Ihnen !