Bestimmen Sie die genaue Position des Schwerpunkts.

Question

Aufgabe:

Die Fläche −3 ≤ x ≤ 4 ∧ y ≤ 2 wird an der unteren Kante durch die Gerade y = m · x begrenzt,
wodurch sich ein Trapez ergibt, welches eine homogene Dichteverteilung besitzt.

a) Für welche Steigung m liegt der Flächenschwerpunkt des Trapezes auf der y-Achse?
b) Bestimmen Sie die genaue Position des Schwerpunkts.

Problem/Ansatz:

Habe leider überhaupt keinen Ansatz. Muss ich das mit Doppelintegralen machen?

Comments

Wenn ich die gerade y=mx zeichne ergibt sich ein Dreieck?  Ist da ein Fehler ?

Hast du eine Zeichnung?

lul

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Das mit dem Trapez ist nicht korrekt. Für m <= -2/3 und m > 1/2 wird die Fläche zu einem Dreieck. Man wird um eine Fallunterscheidung nicht herumkommen.

Answer 1

a) Berechne diese Flächen in Abhängigkeit von m:

Der Schwerpunkt liegt auf der y-Achse, wenn diese Flächen gleichgroß sind.

Comments

... ich hoffe, dass SuperMario klar ist, dass diese Antwort falsch ist.

Der Schwerpunkt liegt auf der y-Achse, wenn diese Flächen gleichgroß sind.

nicht zwingend, es kommt auch noch auf die Hebelarme der Einzelschwerpunkte an.

Answer 2

Die Fläche liegt ja zwischen y=2 und y=m*x .

Also ist bei Integration in x-Richtung das infinitesimale Flächenelement

dA= (2-mx)dx und die x-Koordinate des Schwerpunktes ergibt sich zu

siehe etwa https://www.bing.com/videos/search?q=schwerpunkt+integral&&view=detail&mid=6D098C205BC12987E2C06D098C205BC12987E2C0&rvsmid=8F14C92D12912452E4EE8F14C92D12912452E4EE&FORM=VDMCNR)

\( x_S = \frac{1}{A} \cdot \int xdA    \)

Also erst mal A bestimmen in Abhängigkeit von m :

Das ist ein Trapez mit den parallelen Seiten

auf x=-3 und auf x=4 , obere Seite auf der Höhe von y=2 und die untere

ist auf der Geraden y=mx.

A = ((2-4m)+(2+3m))/2 * 7 = (4-m)*3,5 = 14-3,5m

\( x_S = \frac{1}{A} \cdot \int xdA  = \frac{1}{14-3,5m}  \cdot \int \limits_{-3}^4x\cdot (2-mx) dx \)

\( x_S = \frac{1}{14-3,5m}  \cdot \frac{-7(13m-3)}{3} = \frac{2(13m-3}{3(m-4)}  \)

Also x_S = 0 wenn m=3/13.

Answer 3

Hallo,

Muss ich das mit Doppelintegralen machen?

Da sind ein Rechteck und ein Dreieck. Dafür brauchst Du die Integralrechnung nicht zu bemühen!

Teile das Trapez an der Geraden \(y=4m\) in ein Rechteck und ein Dreieck. Sowie hier gezeigt (die gestrichelte horizontale Linie)

https://www.desmos.com/calculator/97jkfadelj

(den Punkt rechts bei \(4m\) kann man vertikal verschieben)

Berechne nun die Fläche \(A_1\) des Rechtecks und die Fläche \(A_2\) des Dreiecks, sowie die Schwerpunkte \(S_1\) und \(S_2\) von Rechteck und Dreieck. Hinweis:$$S_1= \begin{pmatrix} (-3 + 4)/2\\ (4m + 2)/2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,5\\ 2m+1\end{pmatrix}\\ S_2 = \begin{pmatrix} -3 + (4-(-3))/3\\ 4m - (4m-(-3m))/3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/3\\ 5m/3\end{pmatrix}$$Der Gesamtschwerpunkt des Trapez liegt dann bei$$S_0 = \frac{A_1S_1  +A_2S_2}{A_1+A_2}$$Um das gesuchte \(m\) zu berechnen, setze die X-Koordinate des Gesamtschwerpunkts zu 0.

Lösung: \(m(x_s=0) = 3/13\).

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Wenn's dann doch mit Integralrechnung sein muss:$$\begin{aligned} \int\limits_{x=-3}^{4}x(2-mx)\,\text dx &= 0 \\ \left.x^2- \frac13 mx^3\right|_{x=-3}^4 &= 0 \\ 16-\frac 13 \cdot 64m - \left(9 + 9m\right) &= 0 \\ 7 - 91m&= 0 \\ m &=\frac 3{13} \end{aligned}$$Gruß Werner