Doppelintegrale und Integrationsbereiche

Question

Aufgabe:

Skizzieren Sie bei folgenden Integralen jeweils die Integrationsbereiche. Schreiben Sie die Integrale jeweils in umgekehrter Integrationsreihenfolge auf. Berechnen Sie die Integrale. Welche der beiden Integrationsreihenfolgen Sie dabei wählen, ist Ihnen überlassen. Hinweis: nicht immer sind beide Reihenfolgen einfach

a) $$ \int \limits_{0}^{2} \int \limits_{0}^{3-3 x} d y d x $$

b) $$ \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{\sqrt{y}} y \sqrt{x} d x d y $$

c) $$ \int \limits_{0}^{\pi} \int \limits_{y}^{\pi} \frac{\sin (x)}{x} \mathrm{d} x \mathrm{d} y $$

Zu dieser Aufgabe habe ich gleich mehrere Fragen.

Als erstes verstehe ich nicht wie ich beim Integral von a) vorgehen soll, da dort weder Parameter noch Variablen stehen wäre meine Lösung doch in jedem Fall gleich 0 oder sehe ich das falsch?

Was ist die umgekehrte Integrationsreihenfolge, muss ich hier erst einmal nach dx, dann nach dy und für diesen Aufgabenteil nochmal das umgekehrte, also erst nach dy und dann nach dx Integrieren? Ergibt das nicht genau das Selbe?

Kann ich mir das Einzeichnen der Integrationsbereiche so vorstellen wie damals in der Schule bei einem einfachen Integral welches eine gewisse Fläche beispielsweise mit der x-Achse einschließt?

Answer 1

Hallo

 1. f(y)=f(x)=1 sind doch auch Funktionen also stell dir in 1 statt dy eben 1*dy vor, das allgemeine  Integral ist dann y+C

2, du sollst wenn du die Integrationsreihenfolge änderst die richtigen neuen Grenzen eintragen, dazu soll dir ja die Zeichnung der Gebiete  z. b, bei 1 zwischen den Geraden y=3-3x und y =0

 und x=0 und x=2

 bei 2, die Kurve x=√y und x=0 usw.  wenn du zuerst über y integrierst musst du dann ja von y=0 bis x^2 integrieren und bei y von 0 bis 1

 Dass auf beiden Wegen dann dasselbe rauskommt zeigt, dass du die Grenzen richtig geändert hast, also musst du das explizit zeigen.

 Gruß lul

Comments

\( \int \limits_{0}^{2} \int \limits_{0}^{3-3 x} d y d x \)

\( =\int \limits_{0}^{2} \int \limits_{0}^{3-3 x} 1 \cdot d y 1 \cdot d x \)
\( =\int \limits_{0}^{2}[y]_{0}^{3-3 x} d x \)
\( =\int \limits_{0}^{2} 3-3 x-0 d x \)
\( =\int \limits_{0}^{2} 3-3 x d x \)
\( =\left[-\frac{3(x-2) x}{2}\right]_{0}^{2} \)
\( =-\frac{3(2-2) 2}{2}-\left(-\frac{3(0-2) 0}{2}\right) \)
\( =0-0 \)
\( =0 \)

Vielen Dank für die Antwort! :)

Ist mein Ergebnis aus a) so richtig gerechnet?

---

Hallo

 ja, da du ja einfach dA integrierst bekommst du den Flächeninhalt (mit Vorzeichen und wenn du die Gerade von 0 bis 2 zeichnest siehst du, dass das 0 ist.

 kannst du jetzt auch die Reihenfolge dxdy?

Gruß lul