Verwendung des Standardskalarprodukts und der euklidischen Norm im ℝ2 interpretieren?

Question

Aufgabe:

Die Parallelogrammgleichung wurde für eine Norm ‖.‖, die sich als ‖v‖ := √(v,v) aus einem Skalarprodukt ergibt bewiesen.

a) Wie lässt sich diese in einem Parallelogramm mit den Ecken bei 0,v,w, v + w ∈ ℝ² und
Verwendung des Standardskalarprodukts und der euklidischen Norm im ℝ² interpretieren?

b) Gib ein Beispiel von x,y ∈ ℝ² an, so dass für die Supremumsnorm ‖.‖_∞ : ℝ² →  [0,∞[

                                                                                                                   (x,y) ↦ max {ΙxΙ,ΙyΙ}
die Parallelogrammgleichung nicht gilt.

Problem/Ansatz:

Verstehe diese Aufgabe leider nicht und brauche bitte eure Hilfe.

Text erkannt:

Die Parallelogrammgleichung wurde für eine Norm \( \|\cdot\| \), die sich als \( \|v\|:=\sqrt{\langle v, v\rangle} \) aus einem Skalarprodukt ergibt bewiesen.
a) Wie läßt sich diese in einem Parallelogramm mit den Ecken bei \( \underline{0}, \underline{v}, \underline{w}, \underline{v}+w \in \mathbb{R}^{2} \) und Verwendung des Standardskalarprodukts und der euklidischen Norm im \( \mathbb{R}^{2} \) interpretieren?
b) Gib ein Beispiel von \( \underline{x}, \underline{y} \in \mathbb{R}^{2} \) an, so daß für die Supremumsnorm \( \|\cdot\|_{\infty}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow[0, \infty[ \) \( (x, y) \mapsto \max \{|x|,|y|\} \) die Parallelogrammgleichung nicht gilt.

Answer 1

Vermutlich war das ja die Gleichung

||v+w||^2 + ||v-w||^2 = 2( ||v||^2 + ||w||^2 ) .

In dem besagten Parallelogramm sind

||v+w|| und  ||v-w|| die Seitenlängen der Diagonalen

und ||v|| und ||w|| die Längen der Seiten.

siehe auch :

https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogrammgleichung#Anwendung_in_der_Geometrie

b) Betrachte x=(1;1) und y=(1;-1)

Dann gilt für die Supremumsnorm:

||x||=1 und ||y||=1 und x+y=(2;0) also ||x+y||=2

und x-y=(0;2) also ||x-y||=2

Aber 2^2 + 2^2 = 2 * ( 1^2 + 1^2 )  ist falsch.

Comments

Super.

Vielen lieben Dank für deine Hilfe. :)