Aufgabe:
5) Ausgehend vom Skalarprodukt
\( \langle f, g\rangle:=\int \limits_{a}^{b} f(x) g(x) d x \)
erhält man eine Norm auf \( \mathcal{C}[0,1] \) durch \( \|x\|:=\sqrt{\langle x, x\rangle}, \) die sogenannte \( L^{2} \) -Norm. Explizit:
\( \|f\|_{2}:=\left(\int \limits_{0}^{1} f(x)^{2} d x\right)^{\frac{1}{2}} \)
Betrachte nun insbesondere Treppenfunktionen auf [0,1] die in den Intervallen \( \left(x_{i}, x_{i+1}\right) \) mit \( x_{k}=\frac{k}{n} \) konstant sind, wobei \( 0=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n}=1 \) die Unterteilung des Intervalles in \( n \) gleiche Teile ist. Die \( L^{2} \) -Norm funktioniert auch für solche stückweise stetige Funktionen, definiert also eine Norm für Treppenfunktionen.
Finde einen Zusammenhang der Norm \( \|f\|_{2} \) für solche Treppenfunktionen mit der Euklidischen Norm auf \( \mathbb{R}^{n} \).
Problem/Ansatz:
Ich seh schon, dass es da einen Zusammenhang geben muss, weil ein Integral ja eigentlich nur eine Summe ist und man da drin eine Funktion zum Quadrat hat und aus dieser Summe die Wurzel gezogen wird. ||x|| ist ja genau das.
Ich verstehe aber nicht ganz, wie ich diesen Zusammenhang "finden" soll. Ich kann das mal als Summe von f(k/n) aufschreiben und daraus die Wurzel, aber das klingt nicht ganz so richtig. Wie finde ich hier den Bezug zur euklidischen Norm?
