d)
Gesucht ist der kleinste Abstand vom Fußpunkt des Towers zur Flugbahn d.
Richtung der Lotgerade auf d: n=(-4,2,0)
Fußpunkt der Lotgerade: d(t)
Die Lotgerade d(t) + s*n muss dann durch den Punkt (0,0,0) verlaufen.
GLS:
0 + 2t - 4s = 0
5 + 4t + 2s = 0
1 + 1t = 0
Lösung t=-1, s = -1/2
Fußpunkt der Lotgerade: d(-1) = (-2,1,0)
Dieser Punkt entspricht dem Abhebepunkt.
e)
Die Flughöhe des Doppeldeckers ist gegeben durch
h(t) = 1 + t [km]
Bei t=7 Minuten wird eine Höhe von 8km erreicht.
Der Doppeldecker befindet sich dann bei Koordinate d(7) = (14, 33, 8).
Die Entfernung des Stadtzentrums vom Abhebepunkt (-2,1,0) beträgt dann
d[(-2,1,0),(14,33,0)] = \( \sqrt{16^2 + 32^2} \) ~ 35.78 [km]
f)
v(Doppeldecker) = \( \sqrt{2^2 +4^2 + 1^2} \) ~ 4.58 km/min
v(Motorgleiter) = \( \sqrt{1^2 +1^2 } = \sqrt { 2 } \) km/min
g)
Motorgleiter: Flugwinkel bezogen auf die Südachse (x-Koordinate 1, y-Koordinate 1) alpha = tan(1/1) → alpha = 45 Grad, aufgrund der Kompassausrichtung beträgt der Flugwinkel 180-45 = 135 Grad.
Doppeldecker: Flugwinkel bezogen auf die Südachse (x-Koordinate 2, y-Koordinate 4) alpha = tan(4/2) → alpha ~ 63.43 Grad, aufgrund der Kompassausrichtung beträgt der Flugwinkel 180-63.43 ~ 116.57 Grad.
h)
Beide Flugbahnen gleichsetzen:
0 + 2t1 = 0 + t2
5 + 4t1 = 9 + t2
1 + t1 = 3
Die Geraden schneiden sich für t1=2 und t2=4. Kollisionsgefahr besteht nur, wenn die beiden Flugzeuge den Schnittpunkt zum gleichen Zeitpunkt erreichen.
Extraaufgabe)
Verfahren wie bei d)
Lösung : \( \sqrt{99/2} \)
