Ich weiß, dieser Beweis ist vielseitig im Netz besprochen, aber das ist mein eigener Versuch eines Beweises, deswegen würde mich eine Bewertung der Formulierung und Argumentation freuen :)
Behauptung:
Seien A, B nichtleere, nach oben beschränkte Teilmengen von IR.
Sei A+B := { a+b | a∈A und b∈B }.
C := A+B
Dann gilt: sup(A+B) = sup(A) + sup(B)
Beweis:
Sei x ∈ C beliebig mit x = a+b mit a∈A und b∈B.
Da jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmengen von IR ein Supremum besitzt, existiert insbesondere sup(A), sup(B) und sup(C).
Es gilt per Definition: x = a+b ≤ sup(A) + b ≤ sup(A) + sup(B) (*)
Somit ist sup(A) + sup(B) eine obere Schranke von C.
Fall 1:
Angenommen sup(C) < sup(A) + sup(B).
Sei nun a∈A und b∈B f.a.b. , dann gilt:
sup(A) > sup(C) - sup(B) ≥ (a + b) - b = a
Dann wäre sup(C) - sup(B) aber eine kleiner obere Schranke für A als sup(A) - Widerspruch
Fall 2:
Angenommen sup(C) > sup(A) + sup(B).
In (*) wurde bereits gezeigt, dass sup(A) + sup(B) eine obere Schranke von C ist, wäre sup(C) > sup(A) + sup(B), so wäre dies ein Widerspruch zur Supremumseigenschaft von sup(C).
Aus Fall 1 und 2 folgt sup(C) = sup(A) + sup(B), da sup(A),sup(B)sup(C) ∈ IR.
Ist das so okay? Verbesserungsvorschläge? Mir kommt jeder Schritt korrekt vor.
