Kontrolle: Beweisformulierung zu einem Gruppenhomomorphismus

Question

Gegeben ist eine Gruppe G und ein beliebiges aber festes h ∈ G und folgende Abbildung

ψ_h : G → G, wobei  g ↦ h^-1 ο g ο h

Zu Zeigen ist, dass ψ_h ein Isomorphismus ist.

Zum Beweis:

Da ich vorher schon (mit Hilfe der Abbildung g ↦ g ο g gezeigt habe, dass (G, ο) eine abelsche Gruppe sein muss und daher Kommutativität gilt, kann ich doch diese Information auch für diese Teilaufgabe benutzen, oder?

Wenn ja, dann folgt daraus auch, dass ψ_h ein Homomorphismus sein muss.

Dann fehlt ja nur noch, zu zeigen, dass Bijektivität gilt. Dazu habe ich auch noch eine Frage.

Wenn ich die Kommutativität nutzen kann, dann kann ich mir doch die Abbildungsvorschrift so zusammenbasteln, dass es mir passt, also:

g ↦ h^-1 ο g ο h

⇔ g ↦ h^-1 ο h ο g

⇔ g ↦ (h^-1 ο h) ο g

⇔ g ↦ e ο g

⇔ g ↦  g

Das sieht mir sehr nach einer Identitätsabbildung ist und von der wissen wir, dass sie Bijektiv ist und somit wäre bewiesen, dass ψ_h ein Homomorphismus ist.

Ich muss nur wissen, ob es nur mir so logisch scheint oder ob die Aufgabe tatsächlich viel zu einfach ist.

Danke für eure Antworten!

Answer 1

Hi Lici,

wenn G tatsächlich abelsch ist, dann wäre diese Fragestellung tatsächlich trivial (wie du aufgezeigt hast). Um allerdings die obige Behauptung zu zeigen, ist es gar nicht notwendig das G abelsch sein muss.

Gruß

Comments

Nanja,

es ist ein Homomorphismus, da:

ψ_h(g o m)

= h^-1 o (g o m) o h

= h^-1 o g o m o h  (da Assoziativ)

= h^-1 o g o e o m o h  (neutrales Element)

= h^-1 o g o h o h^-1 o m o h  (da e = h o h^-1)

= (h^-1 o g o h) o (h^-1 o m o h)  (da Assoziativ)

= ψ_h(g ) o ψ_h(m)

Da es sich hier um ein Homomorphismus handelt, muss (G, o) abelsch sein und dann folgt das oben? :P

Hast du eine Idee, wie ich anders auch an die Bijektivität komme, ohne dass es umständlich wäre?

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Nein daraus folgt nicht, dass \( (G, \circ) \) abelsch ist.

Die Abbildung ist eine andere als die Abbildung in a), deswegen kannst du nicht einfach so eine Folgerung machen.

Die Surjektivität und Injektivität ist in diesem Fall gar kein Problem zu zeigen :) (nicht umständlich). Eine Umkehrabbildung findet sich aber auch recht schnell.

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Ich komm nicht drauf.

Die Abbildung ψ_h ist injektiv, wenn der Ker(ψ_h) = {e}

Zu Surjektivität fällt mir nichts ein.

und sonst hmm..

Ich bin mir nicht sicher, wieso ein linksinverser Hom injektivität und ein rechtsinverser Hom surjektivität impliziert..

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Das Stichwort hier ist links- und rechtmultiplikation. Beispiel: Injektivität
Wir suchen alle \(g \in G \), so dass \(\psi (g) = e \)

D.h

$$ h^{-1}gh = e $$

$$ h^{-1}g = eh^{-1} $$

$$ g = heh^{-1} = e $$

somit gilt \( \ker(\psi) = \{e\} \) also ist die Abbildung injektiv.

Surjektivität ist noch einfacher: \( \forall g \in G\) gilt \( \psi(hgh^{-1}) = g \)

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Jetzt ergibt alles Sinn.

Vielen Dank :)