Die allg. Inverse zu eine \( 2 x 2 \) Matrix berechnet sich durch \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ u & v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Das gibt 4 Gleichungen
\( (1) \quad ax + bu = 1 \)
\( (2) \quad ay + bv = 0 \)
\( (3) \quad cx + du = 0 \)
\( (4) \quad cy+dv = 1 \)
Jetzt (1) mit \( d \) und (3) mit \( b \) multiplizieren und subtrahieren gibt
\( (1') \quad x = \frac{d}{ad-bc} \)
Dann (2) mit \( d \) und (4) mit \( b\) multiplizieren gibt
\( (2') \quad y = - \frac{b}{ad-bc} \)
Jetzt (1') in (3) und (2') in (2) einsetzen, ergebn die Lösungen für \( u\) und \( v \)
Wenn Du alles richtig gemacht hast kommt folgendes raus
$$ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$ falls \( ad-bc \ne 0 \) gilt. Falls diese Bedingung nicht erfüllt ist, gibt es keine Inverse.
Für den Ausdruck \( ad-bc \) gibt es die Bezeichnung \( \det(A) \)
Also \( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
Jetzt noch die Bedingung prüfen ob überhaupt eine Inverse ex. und dann die Zahlen einsetzen und alles ausrechnen, fertig.
