Bestimmen Sie den größten Abstand, den der Punkt B von einer Ebene der Schar haben kann.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Ebenenschar durch E:2ax₁+ax₂-4x₃ = a (a ∈ ℝ) und der Punkt B (3/-5/-2).

Bestimmen Sie den größten Abstand, den der Punkt B von einer Ebene der Schar haben kann.

Problem/Ansatz:

Ich habe nicht die geringste Ahnung, wie ich jetzt vorgehen muss. Ich hätte jetzt etwas mit der HNF gemacht, aber da kommt bei mir nichts raus. Da kommt einfach 8/√16+3a²

Dieses Ergebnis muss jetzt glaube ich maximal werden. Für a=0 wäre dies der Fall. Dann ist der maximale Abstand 2 LE. Stimmt das?

Answer 1

Die Ebenenschar besitzt eine Schnittgerade. Berechne den Abstand des Punktes zu Schnittgeraden.

Die eingezeichnete rote Ebene soll die mit dem größten Abstand sein.
Die blau eingezeichnten Abstände gehören zu den beiden Ebenen mit geringerem Abstand.

Answer 2

E:2ax₁+ax₂-4x₃ = ??? Ich nehme mal an:  =0 .

Dann ist die HNF     (2ax₁+ax₂-4x₃ ) / (√5a^2 + 16) = 0

Und der Abstand von B (3/-5/-2) zu E also | (2a*3+a*(-5)-4*(-2)) ) / (√5a^2 + 16) |

=  | (a+8) / (√5a^2 + 16) |

Und f(a)=  (a+8) / (√5a^2 + 16) ist ja eine Funktion von a und die

musst du untersuchen, für welches a die den größten Betrag hat.

Mit 1. und 2. Ableitung etc.

f'(a)=0  hat nur die Lösung a=2/5 und f ' ' ist dort negativ, also ist das

ein Max. und der maximale Abstand ist d=0,2*√105.

Comments

Die Ebene ist = a

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Na dann musst du die Lösung noch was anpassen.

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Meine Lösung ist richtig, das habe ich jetzt gemerkt. Der maximale Abstand ist 2LE. Dankeschön.