Aloha :)
Lege die Halbkugel mit der flachen Seite auf die \(xy\)-Ebene, den Mittelpunkt der flachen Seite in den Ursprung. Aus Symmetriegründen liegt der Schwerpunkt \(S(0|0|z_S)\) der Halbkugel auf der \(z\)-Achse:$$z_S=\frac1V\int\limits_Vz\,dV$$
Das Volumen der Halbkugel ist \(V=\frac23\pi R^3\). Zur Berechnung des Integrals drängen sich Kugelkoordinaten auf:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;R]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in\left[0;\frac\pi2\right]\;;\;dV=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$Beachte, dass der Winkel \(\vartheta\) nicht wie üblich bis \(\pi\) läuft, sondern nur bis \(\frac\pi2\), weil wir ja nur eine halbe Kugel haben, also nur positive \(z\)-Werte.
Damit haben wir alle Information zusammengetragen, um \(z_S\) zu berechnen:$$z_S=\frac{1}{\frac23\pi R^3}\int\limits_{r=0}^R\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\underbrace{r\cos\vartheta}_{=z}\;\underbrace{r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta}_{=dV}=\frac{1}{\frac23\pi R^3}\int\limits_{r=0}^Rr^3\,dr\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\frac12\sin(2\vartheta)\,d\vartheta$$$$\phantom{z_S}=\frac{1}{\frac23\pi R^3}\left[\frac{r^4}{4}\right]_{r=0}^R\cdot\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\cdot\left[-\frac14\cos(2\vartheta)\right]_{\vartheta=0}^{\pi/2}=\frac{1}{\frac23\pi R^3}\cdot\frac{R^4}{4}\cdot2\pi\cdot\left(\frac14+\frac14\right)=\frac38R$$
Der Schwerpunkt ist also \(S\left(0|0|\frac38R\right)\).
