Beweise oder widerlege die Aussagen mit Gegenbeispielen.

Question

Aufgabe:

Seien G, H Gruppen und f : G → H ein Homomorphismus. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen. Sollte eine Aussage nicht gelten, geben Sie ein Gegenbeispiel an und erklären Sie, warum es sich um ein Gegenbeispiel handelt.

• Kern(f) ist ein Normalteiler von G.
• Bild(f) ist ein Normalteiler von H.
• Sei G endlich und U ≤ G. Ist T eine Rechtstransversale von U in G, so ist T endlich und es gilt |T|·|U| = |G|.

Problem/Ansatz:

Hallo an alle erstmal, könnte jemand so nett sein und mir bei der Aufgabe helfen. Ich habe Probleme, dabei Gegenbeispiele zu erstellen.

Comments

Was ist denn eine Rechtstransversale? Ist damit eine Rechtsnebenklasse

\(Ug\) gemeint?

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Was ist denn eine Rechtstransversale? Ist damit eine Rechtsnebenklasse \(Ug\) gemeint

Ja genau

Answer 1

1. Aussage ist wahr; denn wenn x∈Kern(f) und y∈G, dann gilt

f( y*x*y^(-1) ) = f(y) * f(x) * f(g^(-1) )   wegen Hom

         = f(y) * e_H * f(g^(-1))    wegen x∈Kern(f)

         = f(y) * f(g^(-1))   Def. von e_H

         = f( g*g^(-1) )  wegen Hom

          =f(eG)    =  e_H .

Also y*x*y^(-1) ∈Kern(f). Also Kern(f) Normalteiler von G.

Answer 2

Gegenbeispiel zu 2.:

\(f:S_2\rightarrow S_3\) def. durch

\(f(id)=id, \; f((1\;2))=(1\;2)\), also die Einbettung

der 2-elementigen Teilmenge, die von der Transposition \((1\; 2)\)

erzeugt wird in die \(S_3\).

Gegenbeispiel zu 3.:

Sei \(|G|>1\). Wähle \(U=G,\; T=Ue\). Wäre die Aussage wahr,

bekäme man \(|G|\cdot |G|=|G|\).