Zeigen Sie, dass (G, ◦) abelsch ist.

Question

Aufgabe:

Es sei (G, ◦) eine endliche Gruppe mit |G| ∈ P. Zeigen Sie, dass (G, ◦) abelsch ist.

Problem:

Unser Prof meinte, dass wir für g ∈ G eine geeignete Teilmenge definieren müssen und zeigen so dann, dass diese Teilmenge eine Untergruppe ist.

Kann mir wer da weiterhelfen? Der Satz von Lagrange ist vielleicht wichtig https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lagrange

Answer 1

Vermutlich soll \(\lvert G\rvert\in P\) bedeuten, dass die Gruppenordnung eine Primzahl ist.
Die Gruppe \(G\) hat mindestens zwei Elemente. Wähle ein \(g\in G\), das nicht das neutrale Element ist und definiere \(H\coloneqq\lbrace g^k\mid k\in\mathbb Z\rbrace\). Stelle fest, dass \(H\) eine Untergruppe von \(G\) ist. Außerdem ist \(H\) sicher abelsch und hat mindestens zwei Elemente. Bekanntlich ist \(\lvert H\rvert\) ein Teiler von \(\lvert G\rvert\). Da \(\lvert G\rvert\) nur die zwei trivialen Teiler hat, bleibt nur \(\lvert H\rvert=\lvert G\rvert\) und es folgt \(H=G\).