Aloha :)
Wenn du die Funktion \(z=f(x)=1+\cos x\) mit \(x\in[0;\pi]\) um die z-Achse rotierst:
~plot~ (1+cos(x))*(x>=0)*(x<=pi) ; [[0|3,1|0|2,1]] ~plot~
erhältst du das Volumen eines "Hügels". Auf der Höhe \(z=f(x)\) entsteht ein Kreis mit Radius \(x\) und der Fläche \(\pi\,x^2\). Um das Volumen \(V\) zu erhalten, müssen wir alle diese Kreisflächen entlang der \(z\)-Achse summieren:$$V=\int\limits_{z=0}^2\pi x^2\,dz=\int\limits_{x=\pi}^0 \pi x^2\,\frac{dz}{dx}\,dx=\int\limits_\pi^0 \pi x^2\cdot(-\sin x)\,dx=\pi\int\limits_0^\pi x^2\sin x\,dx$$
Das Integral erhältst du mit doppelter partieller Integration:$$\int x^2\sin x\,dx=x^2(-\cos x)-\int2x(-\cos x)\,dx=-x^2\cos x+\int 2x\,\cos(x)\,dx$$$$\phantom{\int x^2\sin x\,dx}=-x^2\cos x+\int 2x\,\cos(x)\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x-\int2\sin(x)\,dx$$$$\phantom{\int x^2\sin x\,dx}=2x\sin x-(x^2-2)\,\cos x+C$$
Das heißt für das gesuchte Volumen:$$V=\pi\left[2x\sin x-(x^2-2)\,\cos x\right]_0^\pi=\pi\left((\pi^2-2)+(0-2)\right)=\pi(\pi^2-4)$$
