Die Insektenpopulation beschreiben und die Entwicklung

Question

Aufgabe:

Die Entwicklung einer Insektenpopulation lässt sich näherungsweise durch folgendes Modell beschrieben: (1) Die Insekten legen Eier, aus denen nach einem Monat Larven schlüpfen.
(2) Aus den Larven werden nach einigen Monaten Insekten.
(3) Nach einem Monat legen die Insekten Eier und sterben danach. (4) Das Modell wird durch folgenden Graphen dargestellt:


30% E zu L

20% L zu I

20 I ——-> E

E=Eier

L=Larven

I=Insekten





a) Erläutern Sie die Zahlen im Sachzusammenhang.


b) Bei Beobachtungsbeginn Monat 0 gibt es 1000 Eier, 300 Larven und 100 Insekten. Erstellen Sie eine
Tabelle für weitere 6 Monate.

c) Stellen Sie zu dem Prozess eine Übergangsmatrix U auf

d) Interpretieren Sie U3 im Sachzusammenhang

.
e) Stellen Sie zu U die inverse Matrix auf und berechnen Sie, wie viel Eier, Larven und Insekten einen
Monat vor Beobachtungsbeginn (Monat 0) bei Teilaufgabe b) vorhanden waren

Nach dem 6. Monat (Tabelle b)) haben sich durch Rodung plötzlich Umwelteinflüsse geändert. Die weitere
Entwicklung der Insektenpopulation ist in folgender Tabelle dargestellt:

Zeit (Monate) : 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

Larven: 288 , 576, 432, 288, 576, 432, 288

Eier: 2880, 2160, 1440, 2880, 2160, 1440, 2880

Insekten: 108, 72, 144, 108, 72, 144, 108



Aufgabe: Bestimmen Sie den passenden Übergangsgraphen und begründen Sie die nun entstandene Periodizität

Problem/Ansatz:

Ich brauche unbedingt Hilfe. Bitte

Comments

Das Modell wird durch folgenden Graphen dargestellt:

Und wo ist der Graph?

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Den Graph hab ich dort beschrieben.

30% E zu L

20% L zu I

20 I ——-> E

Vielleicht können sie mir ja helfen

Bei der inversen kriege ich was ganz komisches raus und beim letzten verstehe ich nicht wie ich den Graphen Zeichen soll

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Tatsächlich konnte ich es lösen trz danke.

Answer 1

https://www.mathelounge.de/945408/entwicklung-einer-insektenpopulation-eier-larven-insekten

Eine Teilantwort

Comments

Ohh vielen Dank. Danach wird’s leider noch viel schwerer

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Aufgaben (a) - (e) sollten gehen.

Den letzten teil kann man wie folgt lösen.

Die Population wird zyklisch wie man sieht. Bei Matrizen der Form $$ P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \end{pmatrix} $$ ist das der Fall wenn\( P^3 = I\) gilt.

$$ P^3 = \begin{pmatrix} abc & 0 & a \\ 0 & abc & 0 \\ 0 & 0 & abc \end{pmatrix} $$ Also muss gelten \( abc = 1 \)

Aus den gegebenen daten folgt \( a = 20 \), \( b= \frac{2}{10} \) und deshalb \( c = \frac{1}{4} \)

D.h. die neue Übergangsmatrix sieht jetzt so aus

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 20 \\ \frac{2}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \end{pmatrix} $$

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0	0	20
0,3	0	0
0	0,2	0

ich hätte bei aufgabe c  eine frage und zwar wie die gemeint ist. wie sieht die übergangsmatrix für diesen prozess aus?

sieht die so wie oben genannt aus oder ist es eine andere?

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Für den noch nicht geänderten Prozess ist die Übergangsmatrix richtig.

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Also benutze ich diese Matrix für c,d und e auch korrekt?

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Das ist richtig.

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Bei e) habe ich nun die inverse Matrix raus. Könnte jemand seine Lösung als Kommentar da lassen als Vergleich?

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Das kannst Du doch leicht prüfen. Es muss doch gelten \( M M^{-1} = I \)

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Mit der Übergangsmatrix klappen die Rechnungen leider nicht versuche es die ganze Zeit

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Bei der neuen Übergangsmatrix verstehe ich eine Sache nicht. Und zwar wie du auf die 2/10 und 1/4 kommst. Der Rest ergibt Sinn für mich und ich verstehe es aber verstehe nicht ganz wie du auf die Werte kommst.

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Weiß dass sonst noch wer anders? Wie er auf die Werte bei f kommt?

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Rechne mal \(  M^6 \) aus und multiplizieren das mit dem Anfangsbestand. Danach musst Du eine Matrix gleicher Form finden, die Dir das Ergebnis für Monat 7 liefert.