Bestimmen Sie alle Häufungspunkte sowie Limes superior und Limes inferior der Folgen

Question

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(6) Bestimmen Sie alle Häufungspunkte sowie Limes superior und Limes inferior der Folgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \), \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit
(a) \( a_{n}=\frac{1}{n}+(-1)^{n} \),
(b) \( b_{n}=\left(\frac{(n+1) n}{2(n+2)}-\frac{n}{2}\right)\left((-1)^{n}+1\right) \),
(c) \( c_{n}=\frac{n}{2^{n}} \).

Answer 1

\( a_{n}=\frac{1}{n}+(-1)^{n} \)  Für große Werte von n

ist \( \frac{1}{n}\) ungefähr 0, also pendeln die Werte

der Folgenglieder immer zwischen 1 und -1.

Das sind die beiden Häufungspunkte und es ist

Limes superior ja immer der größte Häufungspunkt, also 1

und Limes inferior der kleinste, also -1.

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Sind Limes inferior von Cn gleich 0 und Limes sup gleich 1/2?

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c_n hat doch den Grenzwert 0, da sind

lim sup und lim inf auch 0.

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Danke noch einmal! :)

Der Grenzwert von Bn ist unbestimmt, deswegen gibt es weder lim sup noch lin inf. Stimmt das?

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Die Klammer kannst du umformen zu

\(   \frac{1}{n+2}-0,5  \)

Das hat für sich alleine den Grenzwert -0,5.

\( (-1)^n + 1  \)  hat abwechseln den Wert 0

oder 2.

Also hast du 2 Häufungspunkte, nämlich 0

und -1. Und das sind dann auch lim sup und

lim inf.

Answer 2

So eine Aufgabe (bzw. 3 Aufgaben) abzuscannen und einzustellen ist eine geringe Mühe.

Hast du dir auch die Mühe gemacht, wenigstens von einer der Folgen mal die ersten 10 Glieder zu berechnen?