Bestimmen Sie alle Häufungspunkte, die entsprechend Teilfolgen sowie Limes inferior und Limes Superior.

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Folgen (a_n), (b_n) ⊂ R mit

Text erkannt:

\( a_{n}:=\left(\sqrt{\frac{n^{2}}{4}+\frac{n}{2}}-\frac{n}{2}\right) \cdot\left((-1)^{n}+1\right) \)

Bestimmen Sie alle Häufungspunkte, die entsprechend Teilfolgen sowie Limes inferior und Limes Superior.

Problem/Ansatz:

Diese Aufgabe hat mich so verwirrr.

Also ich habe die Folgen glieder gerechnet und es kommt immer 0 und eine Zahl mit wurzel. Ich hab sogar paar Videos im YouTube angeguckt und ich habe es auch verstanden aber ich komme irgendwie mit dieser Aufgabe nicht klar. Können Sie bitte für mich vorrechnen, damit ich es besser verstehe?

Answer 1

Hallo

\( \sqrt{n^2/4+n/2}=n/2* \sqrt{1+2/n} \)

\( \sqrt{1+2/n}\le 1+1/n \)  für große n gent das gegen =

damit rechne  und dann mit geraden n und ungeraden n, und du findest die 2 HP

Answer 2

Also ich habe die Folgen glieder gerechnet

Das ist schon mal sehr gut. Ich habe hier schon so viele Schmarotzer erlebt, die eine perfekte Lösung wollen aber nicht mal bereit sind, die ersten Folgenglieder zu berechnen.

und es kommt immer 0 und eine Zahl mit wurzel.

Kann es sein, dass die 0 in jedem zweiten Versuch kam?

Das ist schon ein starkes Argument dafür, dass 0 ein Häufungspunkt sein muss, oder nicht?

Jetzt berechne mal nur die Folgenglieder mit geradem n.

Werden die immer größer oder werden die immer kleiner?

Falls sie immer kleiner werden: Werden sie auch (irgendwann mal) negativ?

Falls sie immer größer werden: werden sie auch größer als 1?

Comments

Das ist eine schöne Hilfe zum Selbstentdecken :-)

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Ein Häufungspunkt ist 0. Also für ungerade Zahlen ist es 0.

Ich habe es auch für gerade Zahlen probiert. a1= 0,82  , a2= 0.89  , a3=0,90 usw. Sie werden immer größer. Das heißt unsere 2. Häufungspunkt ist 1 oder?

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Das ist so. Leider musst du diese Erkenntnis
noch beweisen ...

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Da habe ich Problem :"D

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Können Sie bei dem Beweis paar Tipps geben?

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Erweitere den Term mit \(\left(\sqrt{\frac{n^{2}}{4}+\frac{n}{2}}+\frac{n}{2}\right)  \)