Zeigen Sie srk(A) ≤ 1 ⇒ Es existieren x, y ∈ K^n, so dass A = x · y^T

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ M_n×n(K). Zeigen Sie srk(A) ≤ 1 ⇒ Es existieren x, y ∈ Kⁿ, so dass A = x · y^T

Problem/Ansatz:

Hat jemand eine Idee, wie man das zeigt?

Comments

Die Matrix A habe den Rang 1. Bekanntlich ist A äquivalent zur Matrix D₁ = e·e^T, wobei e = (1,0,...0)^T.
Es existieren also invertierbare Matrizen S,T mit D₁ = S·A·T^-1.
Es folgt A = S^-1·D₁·T = S^-1·(e·e^T)·T = (S^-1·e)·(T^T·e)^T.