Erklärung zum Thema Wahrscheinlichkeit.

Question

WAHRSCHEINLICHKEIT: RECHENREGELN
Seien A,B zwei Ereignisse. Dann gilt:

P(∅)=0

P(A)≤1

P(A^c)=1−P(A)

Falls A⊂B, dann gilt: P(A)≤P(B)

P(B∖A)=P(B)−P(A∩B)

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).

Könnte mir jemand bitte die oben genannten Regeln und die Abbildungen erklären? Ich verstehe nämlich kaum was.

Text erkannt:

\( P(B \backslash A)=P(B)-P(A \cap B) \)
\( A \)
B
\( B=(B \backslash A) \cup(A \cap B) \)
\( \Rightarrow P(B)=P(B \backslash A)+P(A \cap B) \)

Answer 1

P(∅)=0

Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Ergebnis eintritt, ist 0.

P(A)≤1

Wahrscheinlichkeiten können nicht größer als 1 sein.

P(A^c)=1−P(A)

Das kann man umformen zu

        P(A) + P(A^c) = 1

Das bedeutet, addiert man die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, zu der Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A nicht eintritt, dann bekommt man 1.

Falls A⊂B, dann gilt: P(A)≤P(B)

Tritt B immer dann ein, wenn A eintritt, dann ist die Wahrscheinlichkeit von B mindestens so groß wie die von A.

P(B∖A)=P(B)−P(A∩B)

Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt ohne dass A eintritt, bekommt man aus der Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt indem man die Wahrscheinlichkeit abzieht, dass A und B gleichzeitig eintreten.

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der Ereignisse A, B eintritt, bekommt man indem man die Wahrscheinlichkeiten von A und B addiert und die Wahrscheinlichkeit abzieht, dass A und B gleichzeitig eintreten.

Answer 2

P(∅)=0: Die Wahrscheinlichkeit von der leeren Menge ist 0. Sollte klar sein

P(A)≤1: Die Wahrscheinlichkeit kann nie höher als 100% sein, also nie höher als 1.

P(A^c)=1−P(A): Was soll c Darstellen?

Falls A⊂B, dann gilt: P(A)≤P(B): Das kannst du dir Bildlich klar machen. Stell dir vor du hast einen Kreis B, in dem Kreis ist noch ein Kreis A (Das sagt A⊂B), wenn du jetzt ein bel. Punkt wählst, der im kreis B liegt, muss er nicht unbendingt im kreis A liegen, Andersrum schon, da alle Punkte von A auch in b enthalten sind.

P(B∖A)=P(B)−P(A∩B): Wenn du deine Abbildung anschaust, und wissen willst, wie groß die Wahrscheinlichkeit von B ohne Punkte von A ist, dann nimmst du B und substrahierst die Wahrscheinlichkeit für A und B (das ist die Schnittmenge, die grün ist)

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Wenn du die Wahrscheinlichkeit für A oder B wissen willst, kannst du A und B addieren (dann hast du im Prinzip Kreis A und Kreis B), da du aber die Schnittmenge doppelt gezählt hast, musst du diese noch abziehen.

Abbildung: Das ist ein Venn-Diagramm, dieses zeigt dir ein eine Menge A und B, wobei einige Punkte in A und B enthalten sind