Bestimmen Sie für die Funktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die Funktion
u(x, y) := 3xy² − x³ + 4x² + 4y²
alle lokalen Extrema auf der Kreislinie S¹ := {x ∈ R² | ‖x‖ = 1}, indem Sie die Nebenbedingung

x² + y² − 1 = 0 nach y = g(x) auflösen und dann die lokalen Extrema der Funktion
f : I → R , f (x) := u(x, g(x)) , auf einem geeigneten Intervall I ⊂ R bestimmen

Problem/Ansatz:

Dann wäre g(x)=±√(1-x²). Und f(x)=3xg(x)²-x³+4x²+4g(x)². Ich würde dann für g(x) ±√(1-x²) einsetzen und normal die Extrema bestimmen, ist das so richtig oder muss ich f mit g(x) ableiten, also f´(x)=(6x-3)g´(x)g(x)-3x²+8x.

Würde das erste wählen, aber das wäre dann irgendwie zu leicht

Answer 1

Aloha :)

Wir suchen die Extrema der Funktion $u(x;y)$ unter einer konstanten Nebenbedingung:$$u(x;y)=3xy^2-x^3+4x^2+4y^2\quad;\quad \text{Nebenbedingung: }\;x^2+y^2=1$$

Da im Term $u(x;y)$ nur $y^2$ als Potenz von $y$ vorkommt, drängt es sich auf, die Nebenbedingung nach $\left(y^2=1-x^2\right)$ umzustellen und das Ergebnis in $u(x;y)$ einzusetzen. Wir erhalten dann eine Funktion $f(x)$, die nur noch von $x$ abhängt:$$f(x)\coloneqq 3x(1-x^2)-x^3+4x^2+4(1-x^2)=-4x^3+3x+4$$

Deren Extrema sind schnell bestimmt:$$0\stackrel!=f'(x)=-12x^2+3\implies 12x^2=3\implies x=\pm\frac12$$$$f''(x)=-24x\implies\left\{\begin{array}{ll}f''(-1/2)=12>0 &\implies\text{Minumum}\\[1ex]f''(+1/2)=-12<0&\implies\text{Maximum}\end{array}\right.$$

Jetzt musst du dieses Ergebnis wieder auf die Anfangssituation zurückrechnen:$$\left(x|y\right)=\left(-\frac12\bigg|\pm\sqrt{\frac34}\right)\implies u(x;y)=3\quad\text{(Minima)}$$$$\left(x|y\right)=\left(+\frac12\bigg|\pm\sqrt{\frac34}\right)\implies u(x;y)=5\quad\text{(Maxima)}$$

ABER: Bei dieser Methode musst du die Randbedingungen immer noch zusätzlich testen, das heißt die Punkte $(\pm1;0)$ und $(0;\pm1)$. Wir finden:$$u(-1;0)=5\implies\text{Maximum bei } (-1;0)$$$$u(+1;0)=3\implies\text{Minimum bei } (+1;0)$$$$u(0;\pm1)=4\implies\text{kein Extremum}$$

Die Funktion hat also 3 Maxima und 3 Minima unter der Nebenbedingung.