Extremstellen mit Nebenbedingungen

Question

Aufgabe:

Hallo, ich stecke in der Prüfungsvorbereitung und bei folgender Aufgabe komme ich einfach auf kein Ergebnis. Habe leider auch keins Vorliegen, um meinen Fehler zu finden..

Sei B={(x,y)∈ ℝ² | x²+y² ≤ 1} und die Funktion f: B → ℝ gegeben durch f(x,y):= x²+y²-3xy.

Bestimmen Sie die globalen Extrema von f.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war es mit dem Lagrange Verfahren zu lösen, aber ich komme auf keine vernünftige Lösung...

Kann mir jemand von euch eine Lösungsweg vorschlagen?

Answer 1

Lagrange klingt als Verfahren doch schon richtig. Zumindest für den Rand

L(x, y, k) = x^2 + y^2 - 3·x·y - k·(x^2 + y^2 - 1)

L'x = 2·x·(1 - k) - 3·y = 0

L'y = 2·y·(1 - k) - 3·x = 0

L'k = -x^2 - y^2 + 1 = 0

Ich erhalte daraus 4 Lösungen

(x = - √2/2 ∧ y = - √2/2 ∧ k = - 1/2)
(x = - √2/2 ∧ y = √2/2 ∧ k = 5/2)
(x = √2/2 ∧ y = - √2/2 ∧ k = 5/2)
(x = √2/2 ∧ y = √2/2 ∧ k = - 1/2)

Kontrolle mit Wolfram

Comments

Danke Mathecoach. Auf das Ergebnis mit ± 1/\( \sqrt{2} \) bin ich tatsächlich auch gekommen.

Ob es sich hierbei um ein minimum oder maximum handelt, muss ich diese werte i die ausgangsfunktion einsetzen? Oder wie bestimmte ich diese?

Muss ich noch etwas anderes beachten? Da ich beim Rechnen nur die Bedingung x²+y²=1 beachtet habe... In wie weit kann ich das ≤ beim rechnen mit einbauen?