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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Gegeben sind uns folgende Funktionen:$$\Psi(x;y;z)=1-x^2-y^2+2z\;;\;\phi(x;y)=\begin{pmatrix}x^2+2y\\xy\\y^2-x^2\end{pmatrix}\;;\;a(x;y)\coloneqq\binom{x^3-2y^2}{2x+y}$$$$f(x;y)=\Psi(\phi(a(x;y)))$$
zu a) Bestimmung von \(f(1;1)\)$$f(1;1)=\Psi\left(\phi\left(a\left(1;1\right)\right)\right)=\Psi\left(\phi(-1;3)\right)=\Psi(7;-3;8)=-41$$
zu b) Bestimmung von \(\vec\nabla f(1;1)\)$$\vec\nabla f(1;1)=\begin{pmatrix}-2x & -2y & 2\end{pmatrix}(\phi(a(1;1)))\cdot\begin{pmatrix}2x & 2\\y & x\\-2x & 2y\end{pmatrix}(a(1;1))\cdot\begin{pmatrix}3x^2 & -4y\\2 & 1\end{pmatrix}(1;1)$$$$\phantom{\vec\nabla f(1;1)}=\begin{pmatrix}-2x & -2y & 2\end{pmatrix}(7;-3;8)\cdot\begin{pmatrix}2x & 2\\y & x\\-2x & 2y\end{pmatrix}(-1;3)\cdot\begin{pmatrix}3x^2 & -4y\\2 & 1\end{pmatrix}(1;1)$$$$\phantom{\vec\nabla f(1;1)}=\begin{pmatrix}-14 & 6 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2 & 2\\3 & -1\\2 & 6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 & -4\\2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}106 & -222\end{pmatrix}$$
zu c) Bestimmung der Tangentialebene im Punkt \((1;1)\):
$$z=f(1;1)+\vec\nabla f(1;1)\cdot\left(\binom{x}{y}-\binom{1}{1}\right)=-41+\binom{106}{-222}\binom{x-1}{y-1}$$$$\phantom{z}=-41+106(x-1)-222(y-1)=106x-222y+75$$$$E\colon\;160x-222y-z+75=0$$
