Herleitung der Endgleichung bei der Integration einer komplexen Funktion, hier: Kreisfläche, gesucht!

Question

Aufgabe:

Kann mir bitte jemand die Endgleichung bei der Integration einer komplexen Funktion herleiten, hier: Kreisfläche?

Problem/Ansatz:

z=a+ib k=a/b z=a+i*a/k z(a)=a*(1+i/k)

∫ z(a) da=1/2*a^2+i*1/2*a^2*1/k=F₁(a)=m+ip

Beispiel Kreisfläche:

r=10   A₁=π*r^2=314,159 

F₁=m+ip=50+i*50=|z|*(cos(ß)+i*sin(ß))    k=1 ß=arctan(1)=arctan(b/a)=0,785

F₁=70,711*(cos(0,785)+i*sin(0,785))

und jetzt kommt die Gleichung, die ich nicht hergeleitet habe, die jedoch für einen Kreis stimmen sollte:

π*|z|/(cos(ß))=A₁, es folgt A₁=A₁=314,159

habe nun denselben Rechenweg für eine Ellipse mit a=3 und b=4 durchgeführt und bin grandios gescheitert...

Kann mir diesbezüglich jemand helfen? Dankeschön, Bert Wichmann!

Comments

Habe jetzt die Gleichung für die Ellipsenfläche ermittelt, aber nicht hergeleitet...., a=3, b=4, |z|=7,5

A=pi*|z|*(cos(ß)+1)=a*b*pi    A=37,699111    ß=arctan(4/3)

Viele Grüße, Bert Wichmann!

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muß mich berichtigen:

die Gleichung für die Ellipsenfläche galt nur für die entsprechenden Halbachsen a und b,

richtig muß die Gleichung lauten:

Re(z)*2*pi*b/a=A   , mit b>a, was dann der normalen Gleichung für die Ellipsenfläche entspricht

Viele Grüße, Bert Wichmann!

Answer 1

Hallo

du hast z=rcos(t)+irsin(t)  beschreibt einen Kreis, wenn du t von 0 bis 2pi laufen lässt.

ich verstehe nicht, was du integriert hast. Vorher hast du nach dem Integral für z=a+ia/k gefragt, jetzt hast du aber kein konstantes a und b, sondern ein variables, dann ist dies Integral wertlos.

wie kommst du auf ein festes t bezweifle beta?

Auch die Ellipse  kannst du auf die Weise nicht bekommen. Du musst dich schon mit Flächenintegralen beschäftigen, Integrale  einfach über komplexe Funktionen ergeben keine Flächeninhalte.

woher du dein A1 nimmst verstehe ich nicht, da du eine Länge |z| mit Zahlen multiplizierst bekommst du eine Lange, keine Fläche.

lul

Comments

F₁ ist ein Flächeninhalt, da ich nach der Integration der komplexen Funktion a von 0 bis r habe laufen lassen! Es entsteht wieder eine komplexe Funktion, eine Flächenfunktion....!

Habe dann F₁ , den Betrag dieser Flächenfunktion, mit einem konstanten Faktor multipliziert, π/cos(ß), um den Flächeninhalt, das Endergebnis, A₁ zu erhalten...!

Der wichtigste Punkt der Berechnung ist, das es F₁ gibt, ein Flächeninhalt, der komplex dargestellt werden kann.....!

Meine Frage: was ergibt das Integral über eine komplexe Funktion.....: eine Fläche natürlich, die auch komplex dargestellt werden kann!

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Hallo

Das Integral einer reellen Funktion liefert eine Fläche unter dem Graphen der Funktion.

Das Integral einer komplexen funktion liefer keine Fläche, du hast ja auch einfach eine Konstante integriert, auch das liefert keine Fläche.

dein A1= π*|z|/(cos(ß)) ist doch schon von der Dimension her keine Fläche? eine Länge *pi/Zahl kann keine flache sein.

Was stellst du dir unter einer komplexen Fläche vor?

F1=m+ip=50+i*50=|z|*(cos(ß)+i*sin(ß))  Ist eine komplexe Zahl keine Funktion und kein Kreis. Kennst du dich mit der komplexen Ebene aus? dann kannst du F1 da als einen Punkt oder einen Pfeil eintragen.

irgendetwas stellst du dir bei den komplexen Zahlen falsch vor.

Gruß lul

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F₁ ist eine komplexe Fläche, basta!

Ich wünsche Dir einen schönen Abend, Bert!

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Was ist der Unterschied einer "komplexen" Fläche zu einer komplexen Zahl? ausser basta?

lul