Induktion richtig umformen

Question

Aufgabe:

\( \prod_{k=2}^{n}{(1-\frac{k-1}{k})=\frac{1}{n!}} \)

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war: Sei n=2

Eingesetzt für K und N, beide Behauptungen Stimmen.

Also weiter zu IA:

Zu zeigen etc: alle n ersetzt mit n+1 und wir müssen jetzt zeigen :  \( \frac{1}{n+1!} \)

Also gehen wir weiter zum Beweis: und da fängt es an:

Ich setze meine IA ein für den ersten Teil und wie geht es dann weiter?

Answer 1

Hallo

dann multiplizierst du die Induktionnsvors. mit dem Glied k=n+1 und das auf den Hauptnenner gebracht  und du bist schon fertig.

lul

Answer 2

Hallo,

das geht doch auch ohne Induktion.

1 - (k-1)/k

= (k-k+1)/k

=1/k

Du multiplizierst also

1/2 • 1/3 • 1/4 • ... • 1/n

Und das ist 1/(n!)

:-)

Answer 3

Hallo,

Ich setze meine IA ein für den ersten Teil und wie geht es dann weiter?

Du selektierst den letzten Faktor aus den Produkt bis \(n+1\) und dann setzt Du die IA ein .... $$\begin{aligned} \prod_{k=2}^{n+1} \left(1-\frac{k-1}{k}\right) &= \left(\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{k-1}{k}\right)\right) \cdot \left(1-\frac{(n+1)-1}{n+1}\right)\\ &= \frac{1}{n!} \cdot \left(1 - \frac{n}{n+1}\right) \\ &= \frac{1}{n!} \cdot \frac{n+1 - n}{n+1} \\&= \frac{1}{n!} \cdot \frac{1}{n+1} \\&= \frac{1}{(n+1)!}\\&\text{q.e.d}\end{aligned}$$wo warst Du fest gesessen?

Gruß Werner

Comments

Danke schön, ich habe es wohl verwechselt mit gauß. summenformel.. Ich habe + statt * gerechnet und daher kam was komplett anderes raus bei mir

Danke dir