Beweisaufgabe im Thema Zahlentheorie (Ideal, Ringhomomorphismus)

Question

Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Danke im Voraus.

Text erkannt:

Sei \( f: R \rightarrow S \) ein Ringhomomorphismus. Zeigen Sie, dass \( \operatorname{ker}(f) \subset R \) ein Ideal ist. Zeigen Sie weiterhin, dass \( \operatorname{im}(f) \subseteq S \) nicht zwingenderweise ein Ideal ist.
Bemerkung: Hier nehmen wir den Kern und das Bild des Gruppenhomomorphismus \( f:(R,+) \rightarrow(S,+) \)

Answer 1

Sei \( f: R \rightarrow S \) ein Ringhomomorphismus

(also f(a+b)=f(a)+f(b) und f(a*b)=f(a)*f(b) für alle a,b ∈ R)

Damit ker(f) ein Ideal ist, muss gelten

    1.  Für alle x,y ∈  ker(f) ist x+y ∈  ker(f)

und 2.  Für alle x ∈  ker(f) und r∈R  ist r*x ∈  ker(f)

Seien also  \(   x,y \in \operatorname{ker}(f)  \), dann gilt f(x)=0 und f(y)=0

also wegen Ringhom f(x+y)=f(x)+f(y)

                                       =0+0=0 . ==>  x+y ∈  ker(f). Also 1. erfüllt.

Seien x ∈  ker(f) und r∈R dann gilt f(r*x)=f(r)*f(x) wegen Ringhom.

also   f(r*x) = f(r) * 0 = 0 , also  ist r*x ∈  ker(f) und 2. auch erfüllt.