Gebrochenrationale Funktionen. z.B
f(x) = (3x -5)/(4x² + 3x -7)
Wenn man eine Funktion auf Stetigkeit untersucht heißt das Simpel und unpräzise formuliert "Du kannst die Funktion im Koordinatensystem zeichnen, ohne den Stift ablegen zu müssen. " -> Die Funktion hat keine Lücken oder ähnliches. (Beispielsweise könntest du sin(x) auf einem sehr langen Papier endlos lang zeichnen, ohne den Stift abzuheben, da sin(x) stetig auf ganz R ist )
Als Unstetigkeitsstellen gibt es z.B die Definitionslücke, Sprungstelle, Polstelle.
Beispiel:
f(x) = ((5x) / x). f(x) ist unstetig bei x = 0, da Division durch Null nicht definiert ist. Nun möchte man genauer wissen, was das für eine Unstetigkeitstelle ist (Definitionslücke, Sprungstelle, Polstelle?)
Um das zu ermitteln, wird sich dem Grenzwert (limes) der Funktion von links (linksseitiger Grenzwert der Unstetigkeitsstelle x = 0) und von rechts (rechtsseitiger Grenzwert der Unstetigkeitsstelle x = 0) genähert.
Der Funktionswert (y oder f(x) ) der bei beiden Grenzwertbetrachtungen (Limes) rauskommt, bestimmt dann den Typ der Unstetigkeit und ob man diese beheben kann (also einfach in der Lücke durchzeichen) oder nicht.