Wie vertauscht man die Integrationsreihenfolge?

Question

Text erkannt:

Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig. Vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge von
i) \( \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{1-y^{2}}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \).

Problem/Ansatz:

Ich habe leider kein Beispiel gefunden, welches erklärt, wie man die Reihenfolge vertauschen kann. Ich hab zwar gelesen, dass man diese zeichnen kann, allerdings hab ich das auch nicht so verstanden. Könnte mir jemand erklären, wie man diese einfach vertauschen kann?

Answer 1

Aloha :)

Aus den aktuellen Integralgrenzen kannst du ablesen:$$y\in[0;1]\quad;\quad 1-y^2\le x\le\sqrt{1-y^2}$$

Wegen \(y\in[0;1]\) und der Ungleichungen ist auch \(x\in[0;1]\). Wir können daher umformen:

$$1-y^2\le x\Longleftrightarrow 1-x\le y^2\Longleftrightarrow\sqrt{1-x}\le y$$$$x\le\sqrt{1-y^2}\Longleftrightarrow x^2\le1-y^2\Longleftrightarrow y^2\le1-x^2\Longleftrightarrow y\le\sqrt{1-x^2}$$

Nach Vertauschung der Integrationsreihenfolge haben wir also:$$x\in[0;1]\quad;\quad \sqrt{1-x}\le y\le\sqrt{1-x^2}$$

Das heißt für das Integral:$$\int\limits_{y=0}^1\;\int\limits_{x=1-y^2}^{\sqrt{1-y^2}}f(x;y)\,dx\,dy=\int\limits_{x=0}^1\;\;\int\limits_{y=\sqrt{1-x}}^{\sqrt{1-x^2}}f(x;y)\,dx\,dy$$

Answer 2

Dein bisheriger Integrationsbereich ist
\( B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leqslant y \leqslant 1,1-y^{2} \leqslant x \leqslant \sqrt{1-y^{2}}\right\} . \)
Aus den Ungleichungen siehst du, dass \( 0 \leqslant x \leqslant 1 \) gilt. Fixieren wir also nun solch ein \( x \), so ergibt sich
\( B_{x}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 1-y^{2} \leqslant x \leqslant \sqrt{1-y^{2}}\right\} \)
Betrachten wir die zwei Ungleichungen einzeln:
\( 1-y^{2} \leqslant x \Longrightarrow 1-x \leqslant y^{2} \stackrel{x-1 \geqslant0}{\Longrightarrow} \sqrt{1-x} \leqslant y \)
\( x \leqslant \sqrt{1-y^{2}} \Longrightarrow x^{2} \leqslant 1-y^{2} \Longrightarrow y^{2} \leqslant 1-x^{2} \stackrel{1-x^{2} \geqslant 0}{\Longrightarrow} y \leqslant \sqrt{1-x^{2}} \)
Also ergibt sich
\( \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{1-y^{2}}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) d x d y=\int \limits_{0}^{1} \int \limits_{\sqrt{1-x}}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) d y d x \)

Dieses Reduktionsprinzip wird übrigens "Prinzip von Cavalieri" genannt.