Aufgabe:
Sei a > 1. Bestimme $$ \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(x^2+1)(x^2+a^2)}dx $$
mit Hilfe des Residuenkalküls und vereinfache so weit wie möglich.
Problem/Ansatz:
Ich bin mir nicht ganz sicher ob ich es richtig gemacht habe vorallem mit dem vereinfachen habe folgende Lösung:
Polstellen sind einmal +i und +ia
Residuum für +i= $$\frac{1}{(i^2+a^2)*2i} = \frac{1}{(-1+a^2)*2i} = - \frac{i}{(a^2-1)*2} $$
Residuum für +ia = $$\frac{1}{(i^2*a^2+1)*2ia} = \frac{1}{(1-a^2)*2ia} = - \frac{i}{(1 - a^2)*2a} $$
Beides nun Addieren eben: $$ 2\pi i * (- \frac{i}{(a^2-1)*2} - \frac{i}{(1 - a^2)*2a} )$$
$$ = 2\pi i * (- \frac{ia+i}{(a^2-1)*2a} = - \frac{i*(a+1) \pi i }{(a+1)(a-1)*a} = \frac{\pi }{(a+1)a} $$
