Bestimme das Integral mithilfe von Dreiecks- und Rechtecksflächen

Question

a) 
     5
      ∫  xdx
      2



b) 1
      ∫  (2x + 1) dx
      -1 

c)  2
      ∫  - 2tdt
      -1


d) 4
      ∫  - 2dx
     0



e) 0
     ∫  (-t  - 5) dt
     -5

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Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen Sie das Integral mithilfe von Dreiecks- und Rechtecksflächen.

Stichworte: integral,integralrechnung

Aufgabe:

Bestimmen Sie das Integral mithilfe von Dreiecks- und Rechtecksflächen.

A) 5 (oben) Integral 2 (unten) xdx

B) 1 Integral -1(2x+1)dx

C) 2 Integral -1 -2tdt

D) 4 Integral 0 -2dx

E) 0 Integral -5 (-t-5)dt

Problem/Ansatz:

ich bin mir nicht sicher, wie ich alle Aufgaben außer A) angehen soll. Eine genaue Erklärung wäre sehr Hilfreich, damit ich das nachvollziehen kann.

---

Im Texteingabefenster oben ganz links hat es einen Button, den Du zur Eingabe von Integralen verwenden kannst.

Dann steht da zum Beispiel

B)

\( \int\limits_{-1}^{1} \) 2x + 1 dx

was besser lesbar und verständlich ist.

Answer 1

Die Aufgabenstellung ist folgendermassen zu verstehen.

Zeichne die Funktion (den sog. Integranden) in ein Koordinatensystem, inkl. Grenzen und bestimme die Fläche geometrisch.

Hier a) Integrand f(x) = x. Grenzen x = 2 und x=5. 

Nun hast du dort ein rot,schwarz,grün blau eingeschlossenes Trapez. Berechne seine Fläche (Recteck: 2*3 und darüber halbes Quadrat 3*3/2). Das ist dann das Integral bei a) Also 

a)  
     5 
      ∫  xdx = 2*3 + 3*3/2 = 6 + 4.5 = 10.5
      2 

Bei den folgenden Teilaufgaben machst du dasselbe. Du musst dich nur noch daran erinnern, dass Flächen unterhalb der x-Achse beim Ingetrieren von links nach rechts negativ rauskommen.

Solltest du nicht mehr so genau wissen, wie man lineare Funktionen ins Koordinatensystem einzeichnet: Betrachte das erste Video hier https://www.matheretter.de/kurse/fkt/linear-nf und das Material ganz weit unterhalb der übrigen Videos.

Answer 2

Es geht ja immer um Geraden als Funktionsgraphen.

Bei B etwa so:~plot~ 2x+1 ~plot~

Das Integral von -1 bis 1 musst du in 2 Schritten berechnen.

Das erste Stück (von -1 bis -0,5 ) entspricht einem

Dreieck unter der x-Achse mit den Kathetenlängen

0,5 und 1, also Fläche 0,25 aber weil es unter der x-Achse

liegt liefert das Integral hierfür den Wert -0,25.

Das andere Stück von -05 bis 1 entspricht einem
Dreieck über  der x-Achse mit den Kathetenlängen
1,5 und 3, also Fläche 2,25.

Das Integral insgesamt also -0,25 + 2,25 = 2.

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Vielen Dank jetzt habe ich es verstanden!

Answer 3

Integral mithilfe von Dreiecks- und Rechtecksflächen

Berechne bei B) die Fläche des grünen Dreiecks minus die Fläche des blauen Dreiecks.