Nullstellen von Polynomfunktion 4. Grades berechnen

Question

Aufgabe:

y=f(x)= -2x^4 + 2x +6

Berechnen Sie die nullstellen von f.

Problem/Ansatz:

Ich kann nicht herausfinden, wie ich ohne Polynomformel lösen soll

Comments

Oder soll es \(f(x)=-2x^4+2x^2+6\) heißen ?

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auch von mir dieselbe Frage

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nein, nur 2x ohne hoch zahl

Answer 1

f(x)= -2x^4 + 2x + 6

Newtonsches Näherungsverfahren
x = -1.164
x = 1.4526

Answer 2

Verwende ein Näherungsverfahren!

oder diese Formel:

https://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung

(Kommt eher nicht infrage)

Comments

Mit Näherungsverfahren finde ich nur eine nullstelle oder?

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Bei einer Wertetabelle im Bereich von -3 bis 3 erkenne ich mind. 2 Nullstellen

[-3, -162;
-2, -30;
-1, 2;
0, 6;
1, 6;
2, -22;
3, -150]

und zwar irgendwo zwischen -2 und -1 und zwischen 1 und 2.

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kannst du mir zeigen wie man das mit näherungsverfahren macht?

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Um abzuschätzen wieviele Extrempunkte es gibt kann man auch die Extrempunkte bestimmen.

f'(x) = 2 - 8·x^3 = 0 → Eine Extremstelle und damit auch nicht mehr als 2 Nullstellen der Originalfunktion.

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Nimm das Intervallschachtelungsverfahren. Wenn du weißt das im Intervall von 1 bis 2 eine Nullstelle liegt dann mache eine Neue Wertetabelle im Bereich von 1 bis 2 Schrittweite 0.1

[1, 6;
1.1, 5.2718;
1.2, 4.2528;
1.3, 2.8878;
1.4, 1.1168;
1.5, -1.125;
1.6, -3.9072;
1.7, -7.3042;
1.8, -11.3952;
1.9, -16.2642;
2, -22]

Jetzt siehst du eine Nullstelle zwischen 1.4 und 1.5 und kannst dann mit einer neuen Wertetabelle fortfahren.

Etwas schneller geht es mit dem Newtonverfahren. Wenn x eine Näherung der Nullstelle ist kannst du evtl. über

x_neu = x - f(x) / f'(x)

eine nächste bessere Näherung erhalten. Man fängt hier mit der Ersten Näherung mit einer Zahl aus dem Bereich einer Nullstelle an.

Aber mit Wertetabellen geht das eigentlich auch recht schnell, und man braucht keine Ableitung bilden.

Answer 3

Hallo,

die exakte Lösung ist laut Wolframalpha:

\( x_{1;2}=\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{2}(1+\sqrt{257})}-4 \sqrt[3]{\frac{2}{1+\sqrt{257}}}}\pm  \frac{1}{2} \sqrt{4 \sqrt[3]{\frac{2}{1+\sqrt{257}}}-\sqrt[3]{\frac{1}{2}(1+\sqrt{257})}+\frac{2}{\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{2}(1+\sqrt{257})-4 \sqrt[3]{\frac{2}{1+\sqrt{257}}}}}}} \)

Da bietet sich doch eher ein Näherungsverfahren an.

;-)

Answer 4

Im Falle der Funktion:

\(f(x)=-2x^4+2x^2+6\)

\(-2x^4+2x^2+6=0|:(-2)\)

\(x^4-x^2=3\)

\((x^2-0,5)^2=3+0,25=3,25|\sqrt{~~}\)

1.) \(x^2=0,5+\sqrt{3,25}\)

\(x₁=\sqrt{0,5+\sqrt{3,25}}\)

\(x₂=-\sqrt{0,5+\sqrt{3,25}}\)

2.) \(x^2=0,5-\sqrt{3,25}\)
\(x₃=\sqrt{0,5-\sqrt{3,25}}\)

\(x₄=-\sqrt{0,5-\sqrt{3,25}}\)

\(x₃     bzw.  x₄   ∉   ℝ\)

Comments

Wie kommst du auf 0,25?

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Wie kommst du auf 0,25?

Das ist die quadratische Ergänzung:

x^4-x^2=3

x^4-1*x^2=3

(x^2-1/2)^2=3+(1/2)^2=3,25

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und warum nicht?

(x^2-x)^2=3

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und warum nicht?

(x^2-x)^2=3

Weil (x^2-x)^2 NICHT x^4-x^2 (nicht einmal x^4+x^2) ist.

Hast du noch nie etwas von binomischen Formeln gehört?

Dein (x^2-x)^2 wäre x^4-2x^3+x^2 .

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Hallo moliets,
Deine Ausgangsfunktion ist falsch.
Der Fragesteller meint
nein, nur 2x ohne hoch zahl
f ( x ) = -2*x^4 + 2*x + 6
mfg Georg