Nullstellen Funktion 3.Grades

Question

Wir suchen die Nullstellen zu f(x)=4x^3-12x^2+12x-4
ich wollte die polynomdivision durchführen aber konnte keine Nst erraten

Answer 1

4x^3-12x^2+12x-4=0

x^3-3x^2+3x-1=0

(x-1)^3=0

x=1

Answer 2

f(x) = 4·x^3 - 12·x^2 + 12·x - 4

Eventuell hat du einen Taschenrechner, der eine Wertetabelle von der Funktion machen kann, dann kann man prima eine kleine Wertetabelle im Bereich von -10 bis 10 machen. Für die meisten Funktionen aus der Schule dürfte das reichen.

Wenn die Summe aller Koeffizienten der Funktion Null ist, dann ist 1 eine Nullstelle.

Bei dir ist die Summe der Koeffizienten

(4) + (-12) + (12) + (-4) = 0

Das sieht man hier in diesem Fall gleich ohne lange zu rechnen..

Also ist die 1 eine Nullstelle und du kannst die Polynomdivision machen.

(4·x^3 - 12·x^2 + 12·x - 4) / (x - 1) = 4·x^2 - 8·x + 4

Weiter kommst du dann auch alleine.

Comments

Wieder einmal: Sehr gute Antwort. Wir alle sollten uns um solche Antworten bemühen.

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Also wenn man solche Aufgaben, etwa in einer Prüfung, unter Zeitdruck bearbeiten muss, und die Lösung nicht sofort sieht, dann muss man anders vorgehen.

Eine Wertetabelle wäre etwa das letzte, was ich empfehlen würde. Rechenaufwand und Fehlerwahrscheinlichkeit sind eher hoch. Falls der Taschenrechner die Wertetabelle aber automatisch erzeugen kann, kann er vermutlich auch Polynomgleichungen lösen.

Ohne solche Hilfsmittel ist es zielführender, zunächst den gemeinsamen Faktor 4 loszuwerden und dann nur noch \(x^3-3x^2+3x-1\) zu betrachten. Hat dieses Polynom rationale Nullstellen, so sind sie ganzzahlig und Teiler des Absolutgliedes. Die wenigen Fälle lassen sich leicht prüfen.

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Auch dies ist eine gute Antwort - vor allem der Hinweis, dass der GTR Nullstellen bestimmen kann. Aber die Antwort von Mathecoach ist mit dem Satz "Wenn die Summe aller Koeffizienten der Funktion Null ist, dann ist 1 eine Nullstelle." deswegen sehr gut, weil nicht erst noch 4 ausgeklammert werden muss.

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Und meist muss es nicht mal ein GTR sein. Selbst die etwas kleineres Casio-Modelle, die auf der Realschule empfohlen werden können Wertetabellen.

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Diese können noch keine Polynomgleichungen lösen.

Die großeren Modelle lösen auch Polynomgleichungen bis zum 4. Grad.