Zeigen Sie, dass für alle n gilt:

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass für alle n gilt:

Problem/Ansatz: wie kann man diese Aufgabe lösen? Liebe Grüße

Zeigen Sie, dass für alle \( n \in \mathbb{N} \), \( n \geq 2 \) gilt:
\( \prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right) \)
2. Berechnen Sie den Wert der Reihe:
\( \sum \limits_{n=2}^{\infty} \ln \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right) \)
Tipp: Berechnen Sie den Grenzwert der Folge der Partialsummen und nutzen Sie dabei Teil 1 der Aufgabe.

Comments

$$\sum_{n=2}^N\ln\left(1-\frac1{n^2}\right)=\ln\left(\prod_{n=2}^N\left(1-\frac1{n^2}\right)\right)=\ln\left(\frac12\left(1+\frac1N\right)\right)=\ln\left(\frac12\right)+\ln\left(1+\frac1N\right).$$Alternativ lässt sich der Wert der Reihe auch ohne den Tipp mit Teleskopsummen ermitteln.

Answer 1

\(\prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right) \)

mit vollst. Induktion:

n=2 :

\(\prod \limits_{k=2}^{2}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right) \)

<=>\(   \left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right) \)

<=>\(  \frac{3}{4}=\frac{3}{4} \)   Passt also .

Wenn es für n gilt, dann folgt

\(\prod \limits_{k=2}^{n+1}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right) \)

\(\prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right) \cdot (1-\frac{1}{(n+1)^{2}})  \)

Ind.annahme einsetzen

\( =\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot (1-\frac{1}{(n+1)^{2}})  \)

\( =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n(n+1)^{2}}\right) \)

\( =\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)^{2}}-\frac{1}{n(n+1)^{2}}\right) \)

\( =\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)^{2}}(1+\frac{1}{n})\right) \)

\( =\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)^{2}}(\frac{n+1}{n})\right) \)

\( =\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)}(\frac{1}{n})\right) \)

\( =\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}(1-\frac{1}{(n+1)})\right) \)

\( =\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}(\frac{n}{(n+1)})\right) \)

\( =\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n+1}\right) \) q.e.d.

Answer 2

Hast du Aufgabe 1. schon mit vollständiger Induktion versucht?

Wenn ja woran scheiterst du? Wenn nein, dann würde ich es damit zunächst probieren.

Comments

Also jetzt habe ich die Aufgabe 1 mit vollständiger Induktion gelöst. Und hat geklappt :). Aber keine Ahnung, wie ich Aufgabe 2 lösen kann.

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Schreibe von der Summe mal die ersten 5 Summanden auf und überlege dir wie du sie vereinfachen kannst. Überlege, wie du dann die ganze Summe vereinfachen kannst.

Schlage evtl. nochmals die Logarithmengesetze nach, wenn du die aktuell nicht mehr im Kopf hast.