Berechnen Sie ∫ιi K * ds für K: R2 - R2, ι2(t) =\begin{pmatrix} t\\√{t} \end{pmatrix}

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie ∫_ιi K * ds für K: R² -> R², K(x,y) = \( \begin{pmatrix} 2xy\\x^2 \end{pmatrix} \) und ι1: [0,1] -> R², ι1(t) = \( \begin{pmatrix} t\\t^2 \end{pmatrix} \), ι2: [0,1] -> R², ι2(t) = \begin{pmatrix} t\\ sqrt{t} \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Für den ersten Vektor kriege ich als Integralergebnis = 1 raus. Bei dem zweiten habe ich Probleme mit der Umformung, wegen der Wurzel für die y-Komponente. Bei mir kommt da etwas unschönes raus. Kann mir bei der Integrierung des zweiten Vektors vielleicht jemand helfen?

Liebe Grüße

Answer 1

Aloha :)

Bei beiden Integralen muss dasselbe Ergebnis \(1\) rauskommen, weil Anfangspunkt \((0;0)\) und Endpunkt \((1;1)\) bei beiden Wegen jeweils dieselben sind und das Vektorfeld ein Gradientenfeld ist \(\binom{2xy}{x^2}=\operatorname{grad}(x^2y)\)

Wir rechnen das nach:$$I_1=\int\limits_0^1\binom{2\cdot t\cdot t^2}{t^2}\,\binom{1}{2t}\,dt=\int\limits_0^14t^3\,dt=\left[t^4\right]_0^1=1$$$$I_2=\int\limits_0^1\binom{2\cdot t\cdot\sqrt t}{t^2}\,\binom{1}{\frac{1}{2\sqrt t}}\,dt=\int\limits_0^1\frac52t^{3/2}\,dt=\left[t^{5/2}\right]_0^1=1$$