Möbiustransformation Fixpunkt

Question

Hallo,

Könnte mir jemand bitte bei der folgenden Aufgabe helfen?

Es sei \( \left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathrm{SL}_{2}(\mathbb{R}) \) und es sei \( f(z)=\frac{a z+b}{c z+d} \) die zugehörige Möbiustransformation. Wir setzen außerdem voraus, dass \( f \) nicht die identische Abbildung ist. Ein Fixpunkt \( z_{0} \) einer Funktion \( f \) ist eine Lösung der Gleichung \( f\left(z_{0}\right)=z_{0} \). Zeigen Sie:
(a) Die Möbiustransformation \( f \) besitzt genau dann einen Fixpunkt \( z_{0} \in \mathbb{H} \), wenn \( |a+d|<2 \).
(b) Die Möbiustransformation \( f \) besitzt genau dann genau einen Fixpunkt \( z_{0} \in \) \( \mathbb{R} \cup\{\infty\} \), wenn \( |a+d|=2 \).
(c) Was passiert, wenn \( |a+d|>2 \) ? Gibt es immer noch einen oder mehrere Fixpunkte, und wo befinden Sie sich?
Hinweis: Denken Sie auch an den Fall \( c=0 \).

Comments

Warum bestimmst du nicht einfach z=f(z)

lul

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Wie mache ich das denn?

Answer 1

Fall 1     \( c = 0 \)

dann muss gelten \( z = \alpha z + \beta \) mit \( \alpha = \frac{a}{d} \) und \( \beta = \frac{b}{d} \) (Warum ist \( d \ne 0 \)?)

Für \( \alpha \ne 1 \) folgt

\( z_1 = \frac{\beta}{1 - \alpha} \)

\( z_2 = \infty \) ist ebenfalls ein Fixpunkt.

Für \( \alpha = 1 \) gibt es nur einen Fixpunkt \( z_1 = \infty \)

Fall 2    \( c \ne 0\)

Das ergibt eine quadratische Gleichung für den Fixpunkt, die entweder eine oder zwei Lösungen hat, jenachdem welchen Wert die Diskriminante annimmt.