Fix(f)=Bild(f) lin.Abb.

Question

Aufgabe: Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und f:V→V eine lineare Abbildung mit f^2=f. Solche Abbildungen nennt man auch Projektionen. Zeigen sie: Fix(f)=Bild(f)
Problem/Ansatz:

Definitionen: Fix(f)= (x∈V, f(x)=x), Bild(f)= (f(x)∈V, x∈V). Anhand eines Beispieles ist mir schon aufgefallen, dass alle f(x)∈V, die im Bild von f liegen wegen der Vorschrift f^2=f automatisch auch in der Menge der Fixpunkte liegt. Jedoch kann ich das nur anhand eines Beispieles (lineare Abbildung f:ℝ²→ℝ²,x→Ax mit A=2x2 Matrix mit allen vier Einträgen=1/2) zeigen und nicht allgemein beweisen, dass Fix(f)=Bild(f).

Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte. Danke schonmal im Voraus!

Answer 1

Sei \(x\in Bild(f)\). dann ist \(x=f(y)\) für ein \(y\in V\) und es folgt

\(f(x)=f(f(y))=f(y)=x\), also \(x \in Fix(f)\).

Ist umgekehrt \(x\in Fix(f)\), dann gilt ja \(x=f(x)\), also \(x\in Bild(f)\).

Insgesamt hat man \(Fix(f)=Bild(f)\).