Bild einer linearen Abbildung

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie eine Matrix \( A \), so dass die zugehörige lineare Abbildung \( f_{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) das Bild
\( \operatorname{Bild}\left(f_{A}\right)=V:=\left\{\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} \)
hat.
Geben Sie weiterhin eine \( 4 \times 4 \) Matrix \( B \) an, für die \( f_{B} \) dasselbe Bild hat.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe, mein Ansatz ist: das Matrix Bildungsverfahren wo man anand einer Matrix ein Bild berechnet einfach anderes herum zu machen und die schritte wie: Transponieren, zeilensufenform usw. in anderer reinfolge zu machen bis man die Matrix hat. Kann mir jemand sagen, ob dies so richtig ist und falls nicht, erklären wie es dann geht bzw. Rechenbeispiele bringen. Ebenfalls bei dem zweiten teil bin ich sehr überfordert "4x4 Matrix B an, für fB dasselbe Bild hat"

LG

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Alle Vektoren der Menge \(V\) müssen die Bedingung \((x_1+x_2+x_3+x_4=0)\) erfüllen.

Wir stellen diese Bedingung nach einer Variaben um \((x_1=-x_2-x_3-x_4)\) und können damit alle Vektoren aus \(V\) direkt angeben:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_2-x_3-x_4\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\1\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}-1 & -1 & -1\\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}}_{=A}\begin{pmatrix}x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}$$Beachte, dass \(A\) nicht eindeutig ist. Du könntest z.B. nach einer anderen Variablen als \(x_1\) umstellen.

Die Matrix \(B\) kannst du daraus konstruieren, indem du z.B. der Matrix \(A\) eine 4-te Spalte aus lauter Nullen spendierst.

Answer 2

Satz. Seien \(V\) und \(W\) Vektorräume und \(B\) eine Basis von \(V\). Dann gilt:

1. Zu jeder Abbildung \(b:B\to W\) gibt es genau eine lineare Abbildung \(f_B:V\to W\) mit

           \(f_B(v) = b(v)\)     für alle \(v\in B\).

2. Zu jeder linearen Abbildung \(f_B:V\to W\) gibt es genau eine Abbildung \(b:B\to W\) mit

         \(f_B(v) = b(v)\)    für alle \(v\in B\).
   

Dabei ist \(\operatorname{Bild}\left(f_B\right)\) der von \(\{f_B(v)\in W|\, v\in B\}\) aufgespannte Vektorraum.

Finde also Basen von \(\mathbb{R}^3\)  und von \(\mathbb{R}^4\) und bilde sie surjektiv auf eine Basis von \(\operatorname{Bild}\left(f_A\right)\) ab.

Comments

wie genau mache ich das? ich hatte mir die aufgabe viel einfacher vorgestellt :(

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Finde also Basen von \(\mathbb{R}^3\)  und von \(\mathbb{R}^4\)

Kannst du das?

und bilde sie surjektiv

Weißt du, was surjektiv bedeutet?

auf eine Basis von \(\operatorname{Bild}\left(f_A\right)\)

Hast du eine Basis von \(\operatorname{Bild}\left(f_A\right)\) gefunden?