Aloha :)$$\varphi(f)(x)\coloneqq f(x)-f(-x)\quad;\quad f\colon\mathbb R\to\mathbb R\quad;\quad\varphi\colon \mathbb R^{\mathbb R}\to\mathbb R^{\mathbb R}$$
zu i) Seien \(c\in\mathbb R\) und \(f,g\in\mathbb R\to\mathbb R\) beliebig gewählt:$$\varphi(c\cdot f+g)(x)=(c\cdot f+g)(x)-(c\cdot f+g)(-x)$$$$\phantom{\varphi(c\cdot f+g)(x)}=c\cdot f(x)+g(x)-c\cdot f(-x)-g(-x)$$$$\phantom{\varphi(c\cdot f+g)(x)}=c\cdot\left(f(x)-f(-x)\right)+g(x)-g(-x)$$$$\phantom{\varphi(c\cdot f+g)(x)}=c\cdot\varphi(f)(x)+\varphi(g)(x)$$Die \(\varphi\)-Funktion ist also linear.
zu ii) Der Kern enthält alle Abbildungen \(k\colon\mathbb R\to\mathbb R\), die durch \(\varphi\) auf die Nullfunktion abgebildet werden:$$0\stackrel!=\varphi(k)(x)=k(x)-k(-x)\implies k(x)=k(-x)$$Der Kern besteht aus allen geraden Funktionen.
Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Wir wählen \(k_1(x)=x^2\) und \(k_2(x)=x^4\) aus dem Kern von \(\varphi\) und haben damit 2 unterschiedliche Funktionen gefunden, die auf die Nullfunktion abbilden. Die Nullfunktion wird daher mehr als 1-mal getroffen, sodass die Funktion \(\varphi\) nicht injektiv ist.
zu iii) Sei \(f\colon\mathbb R\to\mathbb R\) beliebig, dann gilt für das Bild von \(\varphi\):$$\varphi(f)(-x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=-\left(f(x)-f(-x)\right)=-\varphi(f)(x)$$Das Bild von \(\varphi\) liefert immer eine ungerade Funktion.
Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge \(\mathbb R^{\mathbb R}\) mindestens 1-mal erreicht wird. Da jedoch alle geraden Funktion aus der Zielmenge niemals erreicht werden, ist die Funktion \(\varphi\) nicht surjektiv.
